Question

初二数学分式化简（请高手进入）

1、已知：（a^3+b^3+c^3-3abc)/(a+b+c)=3
求：（a-b)^2+(b-c)^2+(a-b)(b-c)的值

2、已知：（a+b)/（a-b)=（b+c)/[2(b-c)]=(c+a)/[3(c-a)]
求证：8a+9b+5c=0

方法简洁，技巧灵活解答给予采纳

Answer 1

1、首先对已知条件（a^3+b^3+c^3-3abc)/(a+b+c)化简
对分子进行化简
a^3+b^3+c^3-3abc 利用完全立方公式对a，b进行配方
=（a+b）^3-3a^2b-3ab^2 +c^3-3abc 再用一次完全立方公式
=(a+b+c)^3-3(a+b)^2c-3(a+b)c^2 -3a^2b-3ab^2 -3abc
对后面几项提取公因式3
=(a+b+c)^3-3（(a+b)^2c+(a+b)c^2+a^2b+ab^2+abc ））
先对括号里的前两项提取公因式（a+b)c
=(a+b+c)^3-3（(a+b)c（a+b+c）+a^2b+ab^2+abc ）
再对后面三项提取公因式ab
=(a+b+c)^3-3（(a+b)c（a+b+c）+ab（a+b+c））
再提取公因式（a+b+c）
=(a+b+c)^3-3（a+b+c）（(a+b)c+ab）
=（a+b+c）((a+b+c)^2-3（(a+b)c+ab）)
再对右边括号里面的进行化简，全部展开省略一点，直接出结果
=（a+b+c）(a^2+b^2+C^2-ab-bc-ac)
现在分子化简完了，可以约分了
所以从已知条件可以得到a^2+b^2+C^2-ab-bc-ac=3

再看题目，要求：（a-b)^2+(b-c)^2+(a-b)(b-c)的值
对该式子进行化简，全部展开
（a-b)^2+(b-c)^2+(a-b)(b-c)
=a^2+b^2-2ab+b^2+c^2-2bc+ab-b^2-ac+bc
=a^2+b^2+C^2-ab-bc-ac
可以看出，这个式子和上面条件化简出来的式子是一样的
所以（a-b)^2+(b-c)^2+(a-b)(b-c)=3

休息一下，打字好累

2、令(a+b)/（a-b)=（b+c)/[2(b-c)]=(c+a)/[3(c-a)]=k
则有a+b=k(a-b) ，b+c=2k(b-c) ，c+a=3k(c-a)
将8a+9b+5c进行如下变换
8a+9b+5c
=6(a+b）+3(b+c)+2(a+c)
将上面带有k的式子代入，可得
=6k(a-b)+6k(b-c)+6k(c-a)
=0
证毕。

Answer 2

1.a^3+b^3+c^3-3abc
=(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3+c^3)- 3abc+3a^2b+3ab^2)
=[(a+b)^3+c^3]-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a^2+b^2+2ab-ac-bc+c^2)-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2+2ab-3ab-ac-bc)
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)=3(a+b+c)
则 a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=3

而：（a-b)^2+(b-c)^2+(a-b)(b-c)分解出来就是a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac ，所以解是3
2。令(a+b)/（a-b)=（b+c)/[2(b-c)]=(c+a)/[3(c-a)]=k
则有a+b=k(a-b) ，---1
b+c=2k(b-c) ，------2
c+a=3k(c-a) --------3
题目中有个8a,8=0+8=1+7=2+6=3+5=4+4=5+3=6+2=7+1=8+0
依次将此组合代入上面三个式子的1和3，经验证当8=6+2时，6（a+b）+2(c+a)+3(b+c)=8a+9b+5c
而6（a+b）+2(c+a)+3(b+c)=6K(a-b+b-c+c-a)=0
所以8a+9b+5c=0得证

Answer 3

1.a^3+b^3+c^3-3abc
=(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3+c^3)- 3abc+3a^2b+3ab^2)
=[(a+b)^3+c^3]-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a^2+b^2+2ab-ac-bc+c^2)-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2+2ab-3ab-ac-bc)
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)=3(a+b+c)
则 a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=3

而：（a-b)^2+(b-c)^2+(a-b)(b-c)分解出来就是a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac ，所以解是3

第二题下次再解

Answer 4

(a-b)^2+(b-c)^2+(a-b)(b-c)
=a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+ab-b^2-ac+bc
=a^2+b^2+c^2-bc-ac-ab
又(a^2+b^2+c^2-bc-ac-ab)(a+b+c)
=a^3+b^3+c^3-3abc
故(a-b)^2+(b-c)^2+(a-b)(b-c)
=（a^3+b^3+c^3-3abc)/(a+b+c)=3
令(a+b)/（a-b)=（b+c)/[2(b-c)]=(c+a)/[3(c-a)]=k
则a+b=k(a-b) (k-1)a=(k+1)b a/b=(k+1)/(k-1) ……1
b+c=2k(b-c) (2k-1)b=(2k+1)c b/c=(2k+1)/(2k-1) ……2
c+a=3k(c-a) (3k-1)c=(3k+1)a c/a=(3k+1)/(3k-1) ……3
则由1，2得a/c=(k+1)(2k+1)/(2k-1)(k-1)
再乘3得(3k+1)(2k+1)(k+1)=(3k-1)(2k-1)(k-1)
(6k^2+5k+1)(k+1)=(6k^-5k+1)(k-1)
6k^3+6k^2+5k^2+5k+k+1=6k^3-6k^2-5k^2+5k+k-1
得k^2=-1/11
感觉题目有点问题

Answer 5

靠