Question

上面三个小题 高数 题目:选用适当的坐标系计算下列二重积分

Answer 1

解：(1)题，∵y=x与xy=1的交点为(1,1)，∴1≤x≤2，1/x≤y≤x}。
∴原式=∫(1,2)dx∫(1/x,x)(x/y)^2dy=∫(1,2)(x^3-x)dx=9/4。
(2)题，
设x=rcosθ，y=rsinθ，∴π≤r≤2π，0≤θ≤2π。
∴原式=∫(0,2π)dθ∫(π,2π)(sinr)rdr=∫(0,2π)[(-rcosr+sinr)丨(r=π,2π)]dθ=-6π^2。
(3)题，
设x=rcosθ，y=rsinθ，∴0≤r≤2，0≤θ≤2π。
∴原式=∫(0,2π)dθ∫(0,2)r丨1-r^2丨dr=∫(0,2π)dθ∫(0,1)(1-r^2)rdr+∫(0,2π)dθ∫(1,2)(r^2-1)rdr。
而，∫(0,1)r(1-r^2)dr=1/4、∫(1,2)r(r^2-1)dr=9/4，∴原式=5/2。
供参考。