设函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1),其中a>0
设函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1),其中a>0(3)设f(x)的最小值为g(a),证明不等式:-1/a<g(a)<0...
设函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1),其中a>0(3)设f(x)的最小值为g(a),证明不等式:-1/a<g(a)<0
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令g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax,
于是不等式f(x)≥ax成立即为g(x)≥g(0)成立.
对函数g(x)求导数:g′(x)=ln(x+1)+1-a
令g′(x)=0,解得x=e^(a-1)-1,
当x>e^(a-1)-1时,g′(x)>0,g(x)为增函数,
当-1<x<e^(a-1)-1,g′(x)<0,g(x)为减函数,
所以要对所有x≥0都有g(x)≥g(0)充要条件为e^(a-1)-1≤0.
由此得a≤1,即a的取值范围是(-∞,1].
于是不等式f(x)≥ax成立即为g(x)≥g(0)成立.
对函数g(x)求导数:g′(x)=ln(x+1)+1-a
令g′(x)=0,解得x=e^(a-1)-1,
当x>e^(a-1)-1时,g′(x)>0,g(x)为增函数,
当-1<x<e^(a-1)-1,g′(x)<0,g(x)为减函数,
所以要对所有x≥0都有g(x)≥g(0)充要条件为e^(a-1)-1≤0.
由此得a≤1,即a的取值范围是(-∞,1].
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