Question

三个数的均值不等式

关于均值不等式a
知道了两个数的均值不等式,那三个正数相加有无均值不等式,若有的话,麻烦证一下,谢谢

Answer 1

a^3+b^3+c^3>=3abc,a、b、c都是正数.
证明：a^3+b^3+c^3-3abc
=(a+b)(a^2-ab+b^2)+c(c^2-3ab)
=(a+b)(a^2-ab+b^2)+c(c^2-3ab+a^2-ab+b^2-a^2+ab-b^2)
=(a+b)(a^2-ab+b^2)+c[(c^2-a^2-2ab-b^2)+(a^2-ab+b^2)]
=(a+b)(a^2-ab+b^2)+c[c^2-(a+b)^2]+c(a^2-ab+b^2)
=(a+b+c)(a^2-ab+b^2)+c(a+b+c)(c-a-b)
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)
=(a+b+c)[(a^+b^2-2ab)+(b^2+c^2-2bc)+(a^2+c^2-2ac)]/2
=(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2]/2>=0
所以a^3+b^3+c^3>=3abc成立,当且仅当a=b=c 时取等号.
容易看出,三个数的均值不等式一般形式为：
a+b+c>=3(abc)^(1/3),其中a、b、c都是正数.