Question

已知函数f(x)=x2+bx的图象在为A(1，f(1))处的切线l与直线3x-y...

已知函数f(x)=x2+bx的图象在为A(1，f(1))处的切线l与直线3x-y+2=0平行，若数列{1f(n)}的前n项和为Sn，则S2010的值为( )A.20072008B.20092010C.20082009D.20102011

Answer 1

解答:解:∵函数f(x)=x2+bx的图象在点A(1，f(1))处的切线l与直线3x-y+2=0平行，
由f(x)=x2
+bx求导得:f′(x)=2x+b，
由导函数得几何含义得:f′(1)=2+b=3，可得b=1，∴f(x)=x2+x
所以f(n)=n(n+1)，故数列{
1
f(n)
}的通项为
1
f(n)
=
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
.
则利用裂项相消法可以得到:S2010=(1-
1
2
)+(
1
2
-
1
3
)+…(
1
2010
-
1
2011
)
=1-
1
2011
=
2010
2011
，
故选D.