Question

已知圆C和y轴相切，圆心在直线x-3y=0上，且被直线y=x截得的弦长为2√7（...

已知圆C和y轴相切，圆心在直线x-3y=0上，且被直线y=x截得的弦长为2√7 （1）求圆C的方程． （2）若圆心在第一象限，求过点（6，5）且与该圆相切的直线方程．

Answer 1

解：（1）设圆心为（3t，t），半径为r=|3t|，
则圆心到直线y=x的距离
d=|3t-t|√2=|√2t|，
而
(√7)2=r2-d2，9t2-2t2=7，t=±1，
∴（x-3）2+（y-1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=9．
（2）圆心在第一象限的圆是（x-3）2+（y-1）2=9，
设过点（6，5）且与该圆相切的直线方程为y-5=k（x-6），即kx-y+5-6k=0，
∵圆心O（3，1），半径r=3，
∴|3k-1+5-6k|√k2+1=3，
解得k=724．
∴当切线的斜率k存在时，其方程为y-5=724（x-6），
即7x-24y+78=0．
当切线的斜率k不存在时，其方程为x=6．
故切线方程为7x-24y+78=0，或x=6．