Question

已知二次函数f（x）=ax2+bx+c满足条件：f（2）=f（0）=0，且方程f...

已知二次函数f（x）=ax2+bx+c满足条件：f（2）=f（0）=0，且方程f（x）=x有两个相等实根． （Ⅰ）求f（x）的解析式； （Ⅱ）是否存在实数m、n（m＜n），使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[2m，2n]？如果存在，求出m、n的值；如果不存在，说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）由f（2）=f（0）=0可知，4a+2b+c=0，c=0，又f（x）=x有两个相等实根，
可得（b-1）2-4ac=0，可解得a=-
1
2
，b=1，c=0，
故f（x）的解析式为：f（x）=-
1
2
x2+x．
（Ⅱ）假设存在实数m、n（m＜n），使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[2m，2n]，
由（Ⅰ）可知f（x）=-
1
2
x2+x=-
1
2
(x-1)2+
1
2
≤
1
2
，故2n≤
1
2
，故m＜n≤
1
4
，
又函数f（x）的对称轴为x=1，故f（x）在[m，n]单调递增则有f（m）=2m，f（n）=2n，
解得m=0或m=-2，n=0或n=-2，又m＜n，
故m=-2，n=0．