Question

下列函数f(x)在x=0处是否连续？为什么？

x^2sin(1/x) x=/=0 f(x)={ 0 x=0

Answer 1

是连续的.
│sin(1/x)│≤1,
有界函数
与
无穷小量
的积是无穷小量.
∴函数x^2sin(1/x)的在x=0处的左右极限存在且相等且等于该点的
函数值
0.

Answer 2

在0点连续，换个说法就是要证明：
0点的左极限
=
0点的右极限
=
0点的函数值
即：lim{x->0-}
f(x)
=
lim{x->0+}
f(x)
=
f(0)
*****************************
首先f(0)=0没问题
其次lim{x->0-}
f(x)
=lim{x->0-}
e^-x^-2
由于x^-2趋于正无穷，所以-x^-2趋于负无穷，e^-x^-2趋于0
最后lim{x->0+}
f(x)
=lim{x->0+}
e^-x^-2
由于x^-2趋于正无穷，所以-x^-2趋于负无穷，e^-x^-2趋于0
综上，f(x)在0点连续