Question

关于定积分周期性问题？

请问这个定积分周期放在变限积分上成立吗？麻烦给出一下证明谢谢

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

是的，证明过程如图所示

追问

你好，倒数第二步应该是两边相等吧（不是相加为零吧）

追答

写错了，前一个的积分限应该是(x,0)

Answer 3

由于f(x)周期为T，故f(x)=f(x+T)，设
g(x)=∫_{x}^{x+T}f(t)dt
=∫_{0}^{x+T}f(t)dt－∫_{0}^{x}f(t)dt
故g'(x)=f(x+T)－f(x)=0。
因此g(x)为常值函数，有
g(x)=g(0)。
即
∫_{x}^{x+T}f(t)dt=∫_{0}^{T}f(t)dt。