不定积分题,麻烦给个思路?
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分部积分法和凑微分法,∫arctanx/x²(1+x²)=∫arctanx/x²d(arctanx)=1/2∫1/x²d(arctanx²),然后再利用分部积分法求解。
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分解因式、分部积分法求解。∵1=(x²+1)-x²,∴1/[(x²+1)x²]=1/x²-1/(x²+1)。
∴原式=∫arctanxdx/x²-∫arctanxdx/(x²+1)。
而,∫arctanxdx/x²=-arctanx/x+∫dx[(x²+1)x]=∫[1/x-x/(x²+1)]dx=-arctanx/x+ln丨x丨-(1/2)ln(x²+1)+c1。∫arctanxdx/(x²+1)=(1/2)(arctanx)²+c2。
∴原式=-arctanx/x+ln丨x丨-(1/2)ln(x²+1)-(1/2)(arctanx)²+C。
∴原式=∫arctanxdx/x²-∫arctanxdx/(x²+1)。
而,∫arctanxdx/x²=-arctanx/x+∫dx[(x²+1)x]=∫[1/x-x/(x²+1)]dx=-arctanx/x+ln丨x丨-(1/2)ln(x²+1)+c1。∫arctanxdx/(x²+1)=(1/2)(arctanx)²+c2。
∴原式=-arctanx/x+ln丨x丨-(1/2)ln(x²+1)-(1/2)(arctanx)²+C。
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