Question

反对称矩阵的转置等于它本身吗

Answer 1

A是反对称矩阵,则 A^T = -A.
由于 x^TAx 是一个数
所以 x^TAx = (x^TAx)^T = x^TA^Tx = - x^TAx
故 x^TAx = 0.
PS.x是向量,xAx 乘法无意义
设A为n维方阵，若有A'=-A，则称矩阵A为反对称矩阵。对于反对称矩阵，它的主对角线上的元素全为零，而位于主对角线两侧对称的元素反号。反对称矩阵具有很多良好的性质，如若A为反对称矩阵，则A'，λA均为反对称矩阵；若A,B均为反对称矩阵，则A±B也为反对称矩阵；设A为反对称矩阵，B为对称矩阵，则AB-BA为对称矩阵；奇数阶反对称矩阵的行列式必为0。反对称矩阵的特征值是0或纯虚数，并且对应于纯虚数的特征向量的实部和虚部形成的实向量等长且互相正交。