Question

e^x求导过程

图中是错误证明，因为最后那一步要用到洛必达法则，可是我就是在证明 e＾x的导数，因此用了洛必达的就相当于一个循环论证。
如果不像第2张图的话，用泰勒展开的话，并且也不知道a＾y的导数（否则的话直接代就行了）
…
应该怎么证明？





Answer 1

你图里第一个证明就可以是正确的了，因为最后一步不需要用到洛必达，只需要用到e^x-1与x是等价无穷小。仔细看高数课本，逻辑应该是：利用（1+x）^(1/x)极限是e（证明过程未涉及导数），证明ln(x+1)与x是等价无穷小，然后证明e^x-1与x是等价无穷小即可，无需用洛必达法则。

证明1的无穷次方的基本极限

利用1的无穷次方基本极限求解极限

追问

这些个2是怎么来的？

追答

放缩嘛，大于2的n都缩小为2

为了把不会算的式子放缩为会算的等比数列

Answer 2

y‘=[e^(-x)]'
=(-x)'*e^(-x)=-e^(-x)

答题解析：
复合函数求导——先对内层求导,再对外层求导

拓展资料：

基本函数的求导公式

1.y=c(c为常数) y'=0

2.y=x^n y'=nx^(n-1)

3.y=a^x y'=a^xlna

y=e^x y'=e^x

4.y=logax y'=logae/x

y=lnx y'=1/x

5.y=sinx y'=cosx

6.y=cosx y'=-sinx

7.y=tanx y'=1/cos^2x

8.y=cotx y'=-1/sin^2x

9.y=arcsinx y'=1/√1-x^2

10.y=arccosx y'=-1/√1-x^2

11.y=arctanx y'=1/1+x^2

12.y=arccotx y'=-1/1+x^2

Answer 3

可以参考下面两张图片的证明。这个是先证明log_ax的导数，然后再利用函数和反函数导数之间的关系证明的。内容来自华东师范大学出版的第三版的数学分析。

追问

划线的地方是怎么来的？

或者准确的说，为什么要保证它不等于0

又不是斜率90度，导出为什么没有意义？

像y=c的话，它的导数不也是存在吗

这个画红线的地方又是为什么可以得到的？

这个画黑线的地方又是为什么？是根据什么定理吗？

还是说根据某些定义？

追答

那个要求导数不为零是为了保证局部反函数的存在性。
第二个划线处是证明出来的，也就是反函数的性质(函数连续单调，反函数也有这个性质)。
最后一个划线处，是因为连续性。连续函数，自变量的增量为零时，函数的增量也为零(函数连续性的性质)。

Answer 4

利用特殊极限

追问

妙啊

Answer 5

这个是根据定义求导，但是过程比较麻烦，一般都是要求记住公式。

追问

证一下