Question

请问高数这两道极限题目怎么做，求全过程，谢谢大佬们了

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

第2题利用等价无穷小代换；第3题利用无穷小与有界变量的积为无穷小。

Answer 3

a>0

lim(x->+无穷) x^2.[a^(1/x) - a^(1/(x+1)) ]

y=1/x

lim(y->0+) (1/y)^2.[a^y - a^(1/(1/y +1)) ]

=lim(y->0+) (1/y)^2.[a^y - a^(y/(1 +y)) ]

=lim(y->0+) (1/y)^2.[a^y - a^(1 - 1/(1+y)) ]

=lim(y->0+) (1/y)^2.[a^y - a^(1 - (1+y)^(-1) ) ]

泰勒公式  (1+y)^(-1) = 1- y +(1/2)y^2 +o(y^2)

=lim(y->0+) (1/y)^2.[a^y - a^(1 - (1-y +(1/2)y^2 +o(y^2) ) ]

=lim(y->0+) (1/y)^2.[a^y - a^(y -(1/2)y^2 +o(y^2) ) ] 

共同因子 a^y

=lim(y->0+) (1/y)^2. a^y {  1- a^[(1/2)y^2] }

lim(y->0+) a^y =1

=lim(y->0+) (1/y)^2.  {  1- a^[(1/2)y^2] }

等价无穷小

=lim(y->0+) (1/y)^2.  {  - (lna) (1/2)y^2 }

= -(1/2) lna

(3)

lim(x->+无穷) [ sin√(x+1) -sin√x ]  

=lim(x->+无穷)  2cos{[√(x+1)+√x]/2 } . sin{[√(x+1)-√x]/2 }

有理化分子

=lim(x->+无穷)  2cos{[√(x+1)+√x]/2 } . sin{(1/2) 【1/[√(x+1)+√x]】 }

|cos{[√(x+1)+√x]/2 } | ≤1 and lim(x->+无穷)   sin{(1/2) 【1/[√(x+1)+√x]】 }=0

=0

Answer 4