Question

求问一道导数题目的解法问题

求问此题的极限的分子部分可否使用等价无穷小求解，即e^x-1~x，若不能，请写明原因，谢谢！

Answer 1

分母中的x可以替换成e^x-1，但分子中的e^x-1不能替换成x，因为分子中的e^x-1只是函数的自变量。

这道题的正确解法如下：

Answer 2

不能用等价无穷小代换。因 e^x-1 是函数 f(e^x-1) 的自变量，而不是函数本身。
此题因分子极限为 0. 故是未定式， 已知 f'(0) = 2, 表明函数在 x = 0 的邻域内可导。
用一次罗必塔法则，得
原式 = lim<x→0>f'(e^x-1)e^x/1 = 2*1 = 2

Answer 3

写的详细些，其实应该比较简单。