线性变换的定义是什么?

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社无小事
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2021-11-26 · 游戏也是生活的态度。
社无小事
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线性变换(linear transformation)是线性空间V到其自身的线性映射


性质


(1)设A是V的线性变换,则A(0)=0,A(-α)=-A(α)。


(2)线性变换保持线性组合与线性关系式不变。


(3)线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组。


注意:线性变换可能把线性无关的向量组变成线性相关的向量组。


两个向量空间(包括由函数构成的抽象的向量空间)之间的一种保持向量加法和标量乘法的特殊映射。线性映射从抽象代数角度看是向量空间的同态,从范畴论角度看是在给定的域上的向量空间所构成的范畴中的态射。

“线性算子”也是与“线性映射”有关的概念。但是不同数学书籍上对“线性算子”的定义存在区别。在泛函分析中,“线性算子”一般被当做“线性映射”的同义词。而有的书则将“线性算子”定义为“线性映射”的自同态子类(详见下文)。为叙述方便,本条目在提及“线性算子”时,采用后一种定义,即将线性算子与线性映射区别开来。

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