Question

AB=6,AC=2BC,以AC为斜边作等腰直角三角形ACD,求BD最小值

Answer 1

以AB的中点O为原点，以OB为x轴，以垂直于OB的直线为y轴，建立直角坐标系，则A(-3,0),B(3,0), 设C(x,y),因AC=2BC,故
(x+3)^2+y^2=4[(x-3)^2+y^2],
x^2+6x+9+y^2=4(x^2-6x+9+y^2),
3x^2+3y^2-30x+27=0,
x^2+y^2-10x+9=0,
配方得(x-5)^2+y^2=16,
设x=5+4cosu,y=4sinu,
以AC为斜边作等腰直角三角形ACD,
AC的中点E(1+2cosu,2sinu),
向量AE=(4+2cosu,2sinu)=EC,
DE ⊥EC,DE=EC,
所以向量ED=土i*EC=土i[4+2cosu+2isinu]
=土[-2sinu+(4+2cosu)i],
向量BD=BE+ED=-2+2cosu+2isinu土[-2sinu+(4+2cosu)i]

=-2+2cosu-2sinu+(4+2cosu+2sinu)i,
或-2+2cosu+2sinu+(-4-2cosu+2sinu)i,
BD^2=(-2+2cosu-2sinu)^2+(4+2cosu+2sinu)^2
=28-8(cosu-sinu)+16(cosu+sinu)
=28+8(cosu+3sinu),
或（-2+2cosu+2sinu）^2+(-4-2cosu+2sinu)^2
=28-8(cosu+sinu)+16(cosu-sinu)
=28+8(cosu-3sinu),
所以BD^2最小值=28-8√10，
所以BD的最小值=2√(7-2√10）。