Question

一道数学微积分题?

其中D是x^2+y^2=1及坐标轴所围成的第一象限闭区域
用极坐标做，第一步带进去就不会积分了
答案 （π/8）*（π—2）
大家好像都没做对，我的数学作业已经交上去了，还是谢谢大家。

Answer 1

x=r cosa;
y=r sina;
则该积分
=∫(从0积到π/2) da ∫r √[(1-r^2)/(1+r^2)] dr
=(1/2)∫(从0到π/2) da ∫√[2/(1+r^2)-1]dr^2 (从0到1)
=(1/2)∫(从0到π/2) da ∫√[2/(1+r^2)-1]d(r^2+1) (从1到2)
令t=r^2+1,则原积分
=(1/2)∫(从0到π/2) da ∫√(2/t-1)dt (从1到2);
再令u=√(2/t-1),则t=2/(u^2+1);那么dt=[-4u/(u^2+1)^2]du;
则原积分
=-2∫(从0到π/2) da ∫[u^2/(u^2+1)^2]du (从1到0)
=π· ∫[(u^2+1-1)/(u^2+1)^2]du (从1到0)
=π· ∫[1/(u^2+1)-1/(u^2+1)^2]du (从1到0)
=π·[arctan u|(从1到0) -∫1/(u^2+1)^2 du (从1到0)]
=π·[-π/4-∫1/(u^2+1)^2 du (从1到0)]
=-π^2/4-π·∫1/(u^2+1)^2 du (从1到0)
令u=tan z;则du=(1/cos^2 z)dz;
则原积分
=-π^2/4-π·∫cos^2 z ·(1/cos^2 z)dz (从tan1到0)
=-π^2/4-π·∫1·dz (从tan1到0)
=-π^2/4-π·(0-tan1)
=π·tan1-π^2/4

(Fin)

Answer 2

二重积分，找本高数书先看看吧

Answer 3

很显然答案为∞，因为z的积分由0到∞。
即有该积分无意义的

Answer 4

这是什么东西？。