Question

线性代数特殊四阶行列式求解

特别是第五题

Answer 1

4. 行列式分块，将正中间的二阶子式看作一个整体，则原行列可展开为：
| 1 0 0 2 |
| 0 1 2 0 |
| 0 3 4 0 |
| 3 0 0 4 |
= det([ 1 2 ; 3 4 ]ᵀ) ×det([ 1 2 ; 3 4 ]ᵀ)
= (-2)×(-2)=4
5. 行列式计算如下：
| x a a a |
| a x a a |
| a a x a |
| a a a x |
将第二、三、四列分别加到第一列，得：
| x+3a a a a |
| x+3a x a a |
| x+3a a x a |
| x+3a a a x |
令第二、三、四行分别减去第一行，得：
| x+3a a a a |
| 0 x-a 0 0 |
| 0 0 x-a 0 |
| 0 0 0 x-a |
化为上三角型，则行列式为主对角线元素相乘：(x+3a)(x-a)³
6. 行列式计算如下：
| 1 2 -1 1 |
| 3 6 1 2 |
| 1 -1 2 1 |
| 1 0 3 -2 |
第二行减去第一行的3倍，第三、四行分别减去第一行，得：
| 1 2 -1 1 |
| 0 0 4 -1 |
| 0 -3 3 0 |
| 0 -2 4 -3 |
按第一列展开，得：
| 0 4 -1 |
| -3 3 0 |
| -2 4 -3 |
第二行减去第三行的3/2倍，得：
| 0 4 -1 |
| 0 -3 9/2 |
| -2 4 -3 |
按第一列展开，得：
-2×(4×9/2-3)=-30

Answer 2