Question

反常积分怎么求

两道题目





Answer 1

(1)
f(x) = e^(1/x)/[ x^2.(1+e^(1/x))^2]
f(-x)
=e^(-1/x)/[ x^2.(1+e^(-1/x))^2]
=e^(1/x)/[ x^2.(1+e^(1/x))^2]
=f(x)
∫(-1->1) e^(1/x)/[ x^2.(1+e^(1/x))^2] dx
=2∫(0->1) e^(1/x)/[ x^2.(1+e^(1/x))^2] dx

=2∫(0->1) d [1/(1+e^(1/x)) ]
=2[1/(1+e^(1/x)) ]|(0->1)
=2/(1+e) -2lim(x->0+) 1/[1+e^(1/x)]
=2/(1+e) - 0
=2/(1+e)
(10)
f(x)=2^(1/x) ln2 /[x^2.(1+2^(1/x))^2]

f(-x) = f(x)
∫(-1->1) 2^(1/x) ln2 /[x^2.(1+2^(1/x))^2] dx
=2∫(0->1) 2^(1/x) ln2 /[x^2.(1+2^(1/x))^2] dx
=2∫(0->1) d[1/(1+2^(1/x))]
=2[ 1/(1+2^(1/x)) ]|(0->1)
=2/(1+2) -2lim(x->0+) 1/[1+2^(1/x)]
=2/(1+2) -0
=2/3

Answer 2

我们通常对反常积分是发散还是收敛很感兴趣，然而计算极限往往令人沮丧，幸而我们了解增长和衰减速率，将被积函数替换成更快或更慢的函数，以此判断反常积分的收敛性，这种方法就是审敛法。 如果求解原函数，就需要动用三角替换，经过一些列转换后再求解极限，可能还要使用洛必达法则……现在尝试使用审敛法判断。 所以答案是发散的。 这里需要注意的是，相似的反常积分的下限是1。 这么做有两点原因，第一点当然是分母不能为0；第二点是，当上限为∞是，下限不构成影响结果的主要因素。 在反常积分中，我们关注的是趋于∞的尾端。 将下限写为1仅仅是便于理解和书写，实际上可以写成大于0的任意数。 结果是收敛的。 这个答案对吗？ 我们熟知1/x2的图像，积分表示面积，那么它不可能是负数，一定是哪个环节出现了问题。反常积分是我刚刚讲过的知识内容，华东师大第四版数学分析的第11章，本文主要考虑反常积分的计算问题。粗略而言，反常积分是 正常积分 和极限工具的结合，所以定积分的计算方法： 牛顿-莱布尼茨公式，换元积分，分部积分这些方法都是适用的。如何判断反常积分的敛散性，在近10年来，都是以选择题的形式考察为主。主要是数一、数二在考，数三在这十年当中并没有考过一道，但是数三的考纲中是有要求的。 另外，从数一、二的考题来看，考的不是什么难题，掌握住还是比较容易得分的，所以，值得引起大家的重视！

Answer 3

1、本题的积分，是正态分布函数的核心，也是误差函数的核心；
2、本题的积分函数，来自于“各向同性”这个四个字推导结果；
3、对于本积分的计算，需要用到极坐标化为二重积分，然后在
变成累次积分；
二重积分 = double integral；累次积分 = iterated integral。
4、具体解答如下，如有疑问，欢迎追问，有问必答；
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