Question

微积分为什么要学极限

Answer 1

极限是微积分的核心概念之一，它是微积分的基础，与微积分的其他概念密切相关。在微积分中，我们将函数划分为无数个微小的部分，通过计算这些微小的部分来求解函数的性质。而极限就是指随着这些微小部分趋近于无穷小时，整个函数所趋向的值。极限在微积分中被广泛应用，例如求导数、积分和微分方程等。

学习极限的方法通常包括以下几个方面：

• 理解极限的定义和性质：了解极限的概念及其相关定义，例如数列极限和函数极限等，以及极限的相关性质，例如极限的唯一性和保号性等。

• 研究极限的计算方法：学习如何计算极限，例如用代数方法、夹逼法、极值法、洛必达法等方法来计算各种类型的极限。

• 练习例题：通过大量的练习，熟练掌握极限的计算方法和技巧，提高极限计算的能力。

学习了极限的概念和计算方法之后，就可以开始学习微积分中的其他概念了，其中积分是微积分中的另一个核心概念。积分可以理解为一个区间上的函数面积或曲线长度，而学习积分的方法通常包括以下几个方面：

• 了解积分的定义和性质：学习积分的定义及其相关性质，例如积分的可加性和线性性等。

• 研究积分的计算方法：学习积分的计算方法，例如不定积分和定积分等，以及各种积分方法和技巧，例如换元法、分部积分法和三角代换法等。

• 练习例题：通过大量的练习，熟练掌握积分的计算方法和技巧，提高积分计算的能力。

因此，学习极限是学习微积分的基础，掌握极限的概念和计算方法对于学习积分和微积分的其他内容也具有重要意义。

Answer 2

为什么不能直接代入？
因为有时候直接代入会无解。比如说Limit[Sin[x]/x,x->0]。如果直接代入x=0则原式等于0/0。如果“一点一点地靠近”，或者用洛必达法则，我们可以算出Limit[Sin[x]/x,x->0]=1。

为什么要学极限？
对于初学微积分的学生或者只是学微积分的计算方法的学生，极限的作用仅仅是用于定义微分和积分。微分：f '(x)=Limit[(f(x+h)-f(x))/h,h->0]
当你学到数学分析的时候，你会发现极限的思想是微积分的基础，而求极限仅仅是一种代数的练习罢了。