Question

概率学问题

Answer 1

首先N个人随便选一个座位，有N！种可能．
题目中说”至少有一个人坐对的概率是多少 ？”那么可以1人、2人、．．．．N人．
1人：C(1,n)*〔1-1/1!+1/2!-1/3!+1/4!-...1/(n-1)!〕；1
2人：C(2,n)*〔1-1/1!+1/2!-1/3!+1/4!-...1/(n-2)!〕；2
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n人：1种；n
然后，把1，2，3．．加起来等于：1-1/2+1/(2*3)-1/(2*3*4）+……（-1）^(n-1)/（n！） ≈ 1-e^-1

上式用到了错排公式，用容斥原理证明如下:
正整数1、2、3、……、n的全排列有n!种，其中第k位是k的排列有（n-1)!，当k取1、2、3、……、n时，共有n*（n-1)!种排列，由于是错排，这些排列应排除，但是此时把同时有两个数不错排的排列多排除了一次，应补上；在补上时，把同时有三个数不错排的排列多补上了一次，应排除；……；继续这一过程，得到错排的排列种数为
M(n)=n!-n!/1!+n!/2!-n!/3!+…+(-1)^n*n!/n!=∑(k=2~n) (-1)^k*n!/k!
即M(n)=n![1/0!-1/1!+1/2!-1/3!+1/4!+..+(-1)^n/n!]