1.2 行化简和阶梯形矩阵（线性代数及其应用-第5版-系列笔记）
本节首先讲解了矩阵变换的两种形式： 阶梯形 和 简化阶梯形 ，并讲述了这两种变换之间的关系（最重要的关系是二者的主元位置和主元列是相同的）。之所以引入这两种变换，是为了给解线性方程组和研究线性方程组解的性质提供方便。接下来，讲解了利用 简化阶梯形 求解线性方程组解的方法，最后讨论了利用 阶梯形 矩阵判断方程组解的 存在性 和 唯一性 的方法，并得出了 解线性方程组的一般步骤 。
非零行：
矩阵中至少包含一个非零元素的行
非零列：
矩阵中至少包含一个非零元素的列
先导元素：
非零行中最左边的非零元素
一个矩阵称为 阶梯形 (或 行阶梯形 )，若它有以下三个性质：
若一个阶梯形矩阵还满足以下性质，则称它为 简化阶梯形 （或 简化行阶梯形 ）:
下面是 阶梯形矩阵 的例子，先导元素用 表示， 表示任意元素。
下面是一个 简化阶梯形矩阵 的例子：
任何非零矩阵都可以行化简（即用初等行变换）为阶梯形矩阵。若矩阵 行等价于阶梯形矩阵 ，则称 为 的阶梯形；若 是简化阶梯形，则称 为 的简化阶梯形。
需要注意： 阶梯形矩阵化简为简化阶梯形时，先导元素的位置并不改变 。因简化阶梯形是唯一的，故当给定矩阵化为任何一个阶梯形时，先导元素总是在相同的位置上。
定义：
矩阵中的 主元位置 是 中对应于它的简化阶梯形中先导元素1的位置。 主元列 是 的含有 主元位置 的列。
下面的例子说明了可以通过把一个矩阵变换为阶梯形矩阵来求取主元位置 :
有如下矩阵：
经过行化简后，可以变换为如下形式：
这个矩阵符合如下一般形式：
由上述对 主元位置 和 主元列 的定义，可知，该矩阵的主元分别是 ， ， ，主元列分别是第一、二、四列。
下面的例子说明了求取简化阶梯形的两个步骤，第一个步骤先将矩阵变换为阶梯形矩阵，第二个步骤再将阶梯形矩阵化简为简化阶梯形矩阵 ：
有如下矩阵：
通过一系列的初等行变换（ 这一步骤称为行化简算法的向前步骤 ），可以得到其阶梯形矩阵：
接下来，为了得到简化阶梯形，需要将主元通过变换变为1，并且，通过将这一行乘以适当的倍数，加到其余的行，来使得该主元列其他的元素都变为0。这一步骤称为 行化简的向后步骤 。
经过这一步骤后，可以得到该矩阵的简化阶梯形：
本节讲述的 阶梯形 、 简化阶梯形 可以为下一节所述的解线性方程组提供方便。
行化简算法应用于方程组的 增广矩阵 时，可以得出线性方程组解集的一种显式表示法。
例如，设某个线性方程组的增广矩阵已经化为等价的 简化阶梯形 :
对应的线性方程组为：
对应于主元列的变量 和 称为 基本变量 ，其他变量称为 自由变量 。
由于简化阶梯形使每个基本变量仅包含在一个方程中（由于每一先导元素1是该元素所在列的唯一非零元素，所以除了该先导元素所在的行，其他行对应列的位置的元素都是零了），因此可以在每一个方程中用自由变量表示基本变量，便可以得到方程组的解。
上述方程组的通解为：
另外 是自由变量。所谓的自由变量，是指它可取任意的值。 的不同选择确定了方程组的不同的解，方程组的每个解由 的值的选择来确定。
形如上述方程组的表示式称为解集的参数表示，其中自由变量作为参数。解方程组就是要求出解集的这种参数表示或确定它无解。
需要注意，在上述方程组中，把 作为自由变量只是一种约定，其实它们之间中的任何一个都可以作为所谓的自由变量，来表示两外两个未知数。
确定下列方程组的解是否存在且唯一：
由上述 阶梯形 与 简化阶梯形 之间的关系（阶梯形矩阵化简为简化阶梯形时，先导元素的位置并不改变。），判断线性方程组解的 存在性 与 唯一性 问题，只需要将矩阵变换为 阶梯形 就可以了。
例如，将上述方程组化简为如下阶梯形：
可以判断出，基本变量是 ， ， ，自由变量是 ， 。这里没有类似 等明显不成立的方程，所以该方程是有解的。同时，解不是唯一的，因为有自由变量的存在。
由此引出了下面的定理：
通过上面的讨论，也可以总结出解线性方程组的一般步骤：
例题：假设一个方程组的 系数矩阵有4个主元，这个方程组是相容的吗？如果它是相容的，有多少解？
解：由于系数矩阵有4个主元，因此系数矩阵的每行有一个主元。这意味着系数矩阵是行简化的，它没有0行，因此相应的行简化增广矩阵没有形如 的行，其中 是一个非零数。由本文所述定理知，方程组是相容的。此外，因为系数矩阵有7列且仅有4个主元列，所以将有3个自由变量构成无穷多解。
