逻辑学导论5 直言命题
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演绎理论 旨在阐明有效论证的前提与结论的关系，提供评估演绎论证的方法。为此，历史上出现了两种杰出的理论，第一种是 古典逻辑 或 亚里士多德逻辑 ，由亚里士多德开创，是两千多年来理性分析的基础；第二种是 现代逻辑 或 现代符号逻辑 ，主要形成于20世纪。亚里士多德去世后，其关于推理的论述被收集成册，称为《工具论》，该文本最早地确定了逻辑学的主题。
类 是共有某种特定属性的对象的汇集（见第三章）。古典逻辑处理的主要是关于不同对象的类之间的关系的论证。两个类可以三种方式相互关联：①第一个类 包含于 (wholly included)或包括在(wholly contained)第二个类；②第一个类 部分地包含于 (partially included)第二个类；③两个类 互斥 (exclude)。
陈述类之间关系的命题称为 直言命题 ，它们 肯定或否定了某个类S全部或部分地包含于另外一个类P之中 。在古典逻辑中，它是演绎逻辑的基本要素和论证的组成部分。
标准直言命题有且只有四种。直言命题通常用图示法表达，用两个相交的圆代表两个相关的类，这种方法称为 文恩图 (Venn diagram)。
断言S的类的所有元素都是P的类的元素，可写为形式：所有S是P。S(subject)代表 主项 ，P(predicate)代表 谓项 。
图示如下（阴影表示该部分不存在元素）：
断言S的类与P的类互斥，可写为形式：没有S是P。
图示如下（阴影表示该部分不存在元素）：
断言至少有一个S的类的元素也是P的类的元素，可写为形式：有S是P。
图示如下（x表示至少有一个元素）：
断言至少有一个S的类的元素被排除在P的类之外，可写为形式：有S不是P。
图示如下（x表示至少有一个元素）：
尽管看似简单，这些命题的基础性作用以及命题间关系的澄清是逻辑学系统发展史的一大步，也是亚里士多德对人类知识的巨大贡献之一。
标准直言命题都有 质 ，要么是 肯定的 （A和I），要么是 否定的 （E和O）。
标准直言命题都有 量 ，要么是 全称的 （A和E），要么是 特称的 （I和O）。
标准直言命题的主项和谓项之间都有一个动词形式“是”或“不是”，它将主项和谓项联结起来，称为 联项 (copula)。联项还可能采用其他形式，例如：“曾经是”、“不会成为”、“均为”。
标准直言命题的一般模式由四个部分组成： 量项（量词），主项，联项，谓项 。
如果一个命题述及了某个词项所指称的类的全部元素，则称该词项在这个命题是 周延 的。
A命题中 主项周延 ， 谓项不周延 。（对 任意 S元素， 存在 P元素使命题为真）
E命题中 主项周延 ， 谓项也周延 。（对 任意 S元素和P元素，命题为假）
I命题中 主项不周延 ， 谓项也不周延 。（ 存在 S元素和P元素使命题为真）
O命题中 主项不周延 ， 谓项周延 。（ 存在 S元素，对 任意 P元素命题为假）
总结如下：标准直言命题的 量 决定了 主项 的周延情况，全称命题的主项是周延的，特称命题的主项是不周延的；标准直言命题的 质 决定了 谓项 的周延情况，肯定命题的谓项是不周延的，否定命题的谓项是周延的。
周延概念与真假概念无关。各直言命题中各词项的周延情况在评价三段论的过程中非常重要。
具有相同的主项和谓项的标准直言命题，可能在量上不同，或在质上不同，或在质与量上都不同，其中任何一种都传统地被称为 对当关系 (opposition)。
如果两个命题不能同真或同假，即一个是另一个的拒斥(denial)或否定(negation)，则称它们之间具有 矛盾关系 。两个主、谓项分别相同，而质和量分别不同的标准直言命题是互相矛盾的。因此同主谓的A和O、E和I互为矛盾。
如果两个命题不能同真（但可同假），即可由一个的真推出另一个的假，则称它们之间具有 反对关系 。古典逻辑认为，两个主、谓项分别相同，而质不同的全称标准直言命题是互相反对的。因而同主谓的A和E互为反对。
但这种解读有一个困难：如果A或E是 必然 真的，即在逻辑上或数学上为真，那么说它们在同主谓时互相反对是 不 正确的。必然真的命题没有反对命题，因为互相反对的命题 可以 同假。既非必然真也非必然假的命题称为 偶真的 (contingent)。如果同主谓的A和E都是偶真的，那么它们可以互为反对。本章其余讨论假定A和E是偶真的。古典逻辑式解释导致的严重后果将在5.7讨论。
如果两个命题不能同假（但可同真），即可由一个的假推出另一个的真，则称它们之间具有 下反对关系 。传统上认为，两个主、谓项分别相同，而质不同的特称标准直言命题是互相下反对的。因而同主谓的I和O互为下反对。
这种解读的困难与上述相似，如果I或O是 必然 假的，那么说它们在同主谓时互相下反对是 不 正确的。必然假的命题没有下反对命题，因为互相下反对的命题 可以 同真。如果同主谓的I和O都是偶真的，那么它们可以互为下反对。
如果两个命题主、谓项和质分别相同，而量不同，那么它们之间是 差等关系 ，其中的全称命题称为“ 上位式 ”，特称命题称为“ 下位式 ”。传统上认为，上位的真蕴涵下位的真，下位的假蕴涵上位的假，下位的真 不 蕴涵上位的真。
标准直言命题之间的四种对当关系—— 矛盾关系 、 反对关系 、 下反对关系 和 差等关系 可用 对当方阵 表示， 该对当方阵中的关系为一些基本的论证形式提供了有效性基础。
任何论证都是从一个或多个前提得出结论。包括一个以上前提的推论称为 间接推论 （如三段论，其结论从第一个前提经由第二个前提为中介得出）；从唯一的前提出发而不经过任何中介的推论称为 直接推论 。
由传统对当方阵可得到许多有用的直接推论：
如果A真，那么E假，I真，O假；
如果E真，那么A假，I假，O真；
如果I真，那么E假，A、O不确定；
如果O真，那么A假，E、I不确定；
如果A假，那么O真，E、I不确定；
如果E假，那么I真，A、O不确定；
如果I假，那么A假，E真，O真；
如果O假，那么A真，E假，I真。
如果一个命题的真假不是由任何其他命题的真假决定或固定，换句话说，某人不知道某命题为真也不知道它为假，那么它就是 不确定 的，且它的矛盾命题在同一意义上也不确定。
本节介绍可由四种标准直言命题得到的几种直接推论。
仅交换命题中主、谓项的位置而进行的推论。被交换主、谓项的命题称为 被换位命题 (convertend)，得到的命题称为 换位命题 (converse)。
对于E和I，换位法是有效的直接推论形式，推论与前提 等价 。对于O，换位法一般无效。对于A，换位法一般也无效，但可以结合差等关系推出其下位的I再进行换位，这种推论称为 限制换位 或 偶然换位 (conversion per accidens)，它与前提的命题类型不同且 不等价 。
一个类中各对象的共同属性称为 类的定义特征 (class-defining characteristic)。
类相应的 补类 ，或简称 补 (complement)，是不属于该类的 所有 对象的汇集。词项S指称的类的补由词项 非S （ 互补词项 ）指称，或者可以说非S是S的补，它们分别是类意义上的补和词项的补，二者密切联系：词项是另一词项的词项补，仅当词项指称另一词项所指称的类的补。注意区分 互补词项与反对词项 ：“败者”是“胜者”的反对词项而非互补词项，因为并非所有事物都必须是胜者或败者，“胜者”的互补词项应为“非胜者”。
上述的补是 绝对补 。有时推论中使用 相对补 (relative complement)，即包含在另一个类中的补。例如，“我的孩子”的子类“我的女儿”的相对补是“我的不是女儿的孩子”，即“我的儿子”的类。
改变命题的质，并用谓项的补替换原谓项的推论。换质法直接推论的前提称为 被换质命题 (obvertend)，结论称为 换质命题 (obverse)。任何标准直言命题的换质都有效。
将主项换为原谓项的补，谓项换为原主项的补，而命题的质和量都不变的推论。
换质位法可以 还原 为换质法和换位法。例如，对于A，将“所有S是P”换质得“所有S不是非P”，再换位得“所有非P不是S”，再换质得“所有非P是非S”，对于O也同理，均为先 换质 ，再 换位 ，继续 换质 。
对于A和O，换质位法是有效的直接推论形式，推论与前提 等价 。对于I，换质位法一般无效，因为I换质得到的O换位一般无效。对于E，换质位法一般也无效，因为E换质得到的A换位一般无效，除非进行 限制 换位，则“没有S是P”→“所有S都是非P”→“有非P是S”（限制）→“有非P不是非S”，得到的是O，与前提命题类型不同且 不等价 。
要解决关于命题之间的关系问题，最好的方法是研究从其中一个能否推得另一个的直接推论，这需要从给定命题尽可能多地推出有效的结论。
假命题通过对当关系推理（推论真假不确定的情况）和上述3种推理方法，可能得到真命题。已知命题为假时，要考察另一命题的真假情况，可以从已知假命题的矛盾命题（真命题）着手推理，也可以从被考察的命题着手推理，后者若推出已知为假的命题则它本身也为假。
如果说出一个命题就肯定了某种对象的存在，那么称这个命题有 存在含义 (existential import)。
在 亚里士多德解释 （ 传统解释 ）下，I和O必然有存在含义，否则特称不成立(1)。传统上，认为A和E必然 也要 有存在含义，否则不能由差等关系有效地得到I和O（或由A的限制换位，E的限制换质位也可得出该结论）。那么，两个矛盾命题可能同假(2)。因此，认为A和O有 矛盾 关系是不正确的。同样，认为I和O有 下反对 关系也是不正确的，因为它们在有存在含义时可以同假。
此时，为挽救传统解释下的传统对当方阵，可以引入 预设 (presupposition)概念，即主张所有标准直言命题都预设（在上述含义下）其所涉及的类不为空，这样就能保留传统对当方阵中的各种关系。这一预设称为 全面存在预设 (blanket presupposition)，它对于挽救亚里士多德逻辑是必要的也是充分的，且在很多情况下符合现代语言的日常用法(3)。这也正是亚里士多德
然而，采用这一预设要付出沉重的代价，我们有充足的理由 不 这样做，比如：①不能再刻画那些否定有元素存在的命题，而这样的否定有时非常重要；②日常语言并不完全与全面存在预设一致，有的话并不假定所谈的类中有元素，如“明犯强汉者，虽远必诛”，相反地，这是为了保证这个类维持空类；③在科学界及其他理论界，我们通常希望进行没有任何存在预设的推理，如阐述牛顿第一运动定律时并不预设不受任何外力作用的物体存在。
这些问题使得现代逻辑学家放弃直言命题的传统解释，而采用 布尔解释 （或 现代解释 ，也由罗素称为“ 皮亚诺解释 ”），后者不再假定我们言说的类中必有元素。这种解释如下：
1.在某些方面传统解释仍成立：I和O命题仍有存在含义；相应的A和E、O和I之间的矛盾关系保持为真。
2.全称命题被解释为没有存在含义，即使S类为空，“所有S是P”和“没有S是P”仍可以为真，且可以同真，因此相应的A、E之间不再是反对关系（这听起来似乎难以理解，在10.2和10.3将详细说明）。
3.允许表述有存在含义的全称命题，但要求用两个命题：一个是有存在含义的特殊命题，另一个是没有存在含义的全称命题。
4.对于I和O，如果S类为空，则“有S是P”和“有S不是P”均为假，因此二者不再是下反对关系。
5.差等关系不是普遍有效的，不能从无存在含义的命题（A、E）推出有存在含义的命题（I、O）。
6.一些直接推理仍保留：E和I的换位推理、A和O的换质位推理、所有命题的换质推理，即涉及差等关系的限制换位和限制换质位推理不再有效。
简言之，布尔解释下的对当方阵 周边 的关系不再成立，而 对角线 上的矛盾关系保持不变。
现代逻辑学家否定了全面存在预设。对于不能明确断定有元素的类不能假定它有元素，否则论证会产生 存在预设谬误 ，简称为 存在谬误 。基于布尔解释，我们可以构造一个有力的体系，将标准直言命题推理符号化、图示化。
直言命题的布尔解释很大程度上以 空类 概念为基础。空类用“0”表示，S=0表示S没有元素。S的元素s简记为S’s，S=0亦即不存在S’s。
两个类的全体共同元素组成的类称为两个类的 积 或 交 ，S和P的积用SP表示。（注意与自然语言的某些用法区分，例如西班牙人的类与舞蹈家的类之积不是西班牙舞蹈家的类，因为通常说的是西班牙舞蹈家是表演西班牙舞蹈的人，而不是西班牙的舞蹈家）使用这种记法可以将E和I符号化：E命题“没有S是P”可用等式符号表示为 ，I命题“有S是P”可用不等式符号表示为 。
S的补（见5.6）可用 表示，进而将A和O符号化：A命题“所有S是P”（换质为E命题“没有S是非P”）可用等式符号表示为 ，O命题“有S不是P”（换质为I命题“有S是非P”）可用不等式符号表示为 。
5.3图示了命题中类与类的关系，下面进一步图示直言命题。首先，用一个圆代表一个类，用指称类的词项标注它，这只表示类而未作描述。图示命题“不存在S’s”需要在圆中画上阴影，图示“存在S’s”需要在圆中写一个x。表示S的圆以外的部分可以表示 。
使用两个圆时，除S、P外可以表示 、 、 和 四个类。这一交叉圆图仍只能表示类，尚不表示任何命题。空白部分既不表示类中有元素，也不表示没有，加上阴影或标上x后就能准确地表示四种标准直言命题。
若调换命题中S和P的顺序，只需作对称的标记即可。任给一对带有给定标记的交叉圆，都能将任何一个含这两个类的标准直言命题图示化，无论二者出现的顺序如何。
文恩图是标准直言命题的 肖像 ，将空间的包含与排斥和类间非空间的包含与排斥对应起来，这是检验直言三段论的有效性的一种最简单、最直截的方法。
类 是共有某种特定属性的对象的汇集（见第三章）。古典逻辑处理的主要是关于不同对象的类之间的关系的论证。两个类可以三种方式相互关联：①第一个类 包含于 (wholly included)或包括在(wholly contained)第二个类；②第一个类 部分地包含于 (partially included)第二个类；③两个类 互斥 (exclude)。
陈述类之间关系的命题称为 直言命题 ，它们 肯定或否定了某个类S全部或部分地包含于另外一个类P之中 。在古典逻辑中，它是演绎逻辑的基本要素和论证的组成部分。
标准直言命题有且只有四种。直言命题通常用图示法表达，用两个相交的圆代表两个相关的类，这种方法称为 文恩图 (Venn diagram)。
断言S的类的所有元素都是P的类的元素，可写为形式：所有S是P。S(subject)代表 主项 ，P(predicate)代表 谓项 。
图示如下（阴影表示该部分不存在元素）：
断言S的类与P的类互斥，可写为形式：没有S是P。
图示如下（阴影表示该部分不存在元素）：
断言至少有一个S的类的元素也是P的类的元素，可写为形式：有S是P。
图示如下（x表示至少有一个元素）：
断言至少有一个S的类的元素被排除在P的类之外，可写为形式：有S不是P。
图示如下（x表示至少有一个元素）：
尽管看似简单，这些命题的基础性作用以及命题间关系的澄清是逻辑学系统发展史的一大步，也是亚里士多德对人类知识的巨大贡献之一。
标准直言命题都有 质 ，要么是 肯定的 （A和I），要么是 否定的 （E和O）。
标准直言命题都有 量 ，要么是 全称的 （A和E），要么是 特称的 （I和O）。
标准直言命题的主项和谓项之间都有一个动词形式“是”或“不是”，它将主项和谓项联结起来，称为 联项 (copula)。联项还可能采用其他形式，例如：“曾经是”、“不会成为”、“均为”。
标准直言命题的一般模式由四个部分组成： 量项（量词），主项，联项，谓项 。
如果一个命题述及了某个词项所指称的类的全部元素，则称该词项在这个命题是 周延 的。
A命题中 主项周延 ， 谓项不周延 。（对 任意 S元素， 存在 P元素使命题为真）
E命题中 主项周延 ， 谓项也周延 。（对 任意 S元素和P元素，命题为假）
I命题中 主项不周延 ， 谓项也不周延 。（ 存在 S元素和P元素使命题为真）
O命题中 主项不周延 ， 谓项周延 。（ 存在 S元素，对 任意 P元素命题为假）
总结如下：标准直言命题的 量 决定了 主项 的周延情况，全称命题的主项是周延的，特称命题的主项是不周延的；标准直言命题的 质 决定了 谓项 的周延情况，肯定命题的谓项是不周延的，否定命题的谓项是周延的。
周延概念与真假概念无关。各直言命题中各词项的周延情况在评价三段论的过程中非常重要。
具有相同的主项和谓项的标准直言命题，可能在量上不同，或在质上不同，或在质与量上都不同，其中任何一种都传统地被称为 对当关系 (opposition)。
如果两个命题不能同真或同假，即一个是另一个的拒斥(denial)或否定(negation)，则称它们之间具有 矛盾关系 。两个主、谓项分别相同，而质和量分别不同的标准直言命题是互相矛盾的。因此同主谓的A和O、E和I互为矛盾。
如果两个命题不能同真（但可同假），即可由一个的真推出另一个的假，则称它们之间具有 反对关系 。古典逻辑认为，两个主、谓项分别相同，而质不同的全称标准直言命题是互相反对的。因而同主谓的A和E互为反对。
但这种解读有一个困难：如果A或E是 必然 真的，即在逻辑上或数学上为真，那么说它们在同主谓时互相反对是 不 正确的。必然真的命题没有反对命题，因为互相反对的命题 可以 同假。既非必然真也非必然假的命题称为 偶真的 (contingent)。如果同主谓的A和E都是偶真的，那么它们可以互为反对。本章其余讨论假定A和E是偶真的。古典逻辑式解释导致的严重后果将在5.7讨论。
如果两个命题不能同假（但可同真），即可由一个的假推出另一个的真，则称它们之间具有 下反对关系 。传统上认为，两个主、谓项分别相同，而质不同的特称标准直言命题是互相下反对的。因而同主谓的I和O互为下反对。
这种解读的困难与上述相似，如果I或O是 必然 假的，那么说它们在同主谓时互相下反对是 不 正确的。必然假的命题没有下反对命题，因为互相下反对的命题 可以 同真。如果同主谓的I和O都是偶真的，那么它们可以互为下反对。
如果两个命题主、谓项和质分别相同，而量不同，那么它们之间是 差等关系 ，其中的全称命题称为“ 上位式 ”，特称命题称为“ 下位式 ”。传统上认为，上位的真蕴涵下位的真，下位的假蕴涵上位的假，下位的真 不 蕴涵上位的真。
标准直言命题之间的四种对当关系—— 矛盾关系 、 反对关系 、 下反对关系 和 差等关系 可用 对当方阵 表示， 该对当方阵中的关系为一些基本的论证形式提供了有效性基础。
任何论证都是从一个或多个前提得出结论。包括一个以上前提的推论称为 间接推论 （如三段论，其结论从第一个前提经由第二个前提为中介得出）；从唯一的前提出发而不经过任何中介的推论称为 直接推论 。
由传统对当方阵可得到许多有用的直接推论：
如果A真，那么E假，I真，O假；
如果E真，那么A假，I假，O真；
如果I真，那么E假，A、O不确定；
如果O真，那么A假，E、I不确定；
如果A假，那么O真，E、I不确定；
如果E假，那么I真，A、O不确定；
如果I假，那么A假，E真，O真；
如果O假，那么A真，E假，I真。
如果一个命题的真假不是由任何其他命题的真假决定或固定，换句话说，某人不知道某命题为真也不知道它为假，那么它就是 不确定 的，且它的矛盾命题在同一意义上也不确定。
本节介绍可由四种标准直言命题得到的几种直接推论。
仅交换命题中主、谓项的位置而进行的推论。被交换主、谓项的命题称为 被换位命题 (convertend)，得到的命题称为 换位命题 (converse)。
对于E和I，换位法是有效的直接推论形式，推论与前提 等价 。对于O，换位法一般无效。对于A，换位法一般也无效，但可以结合差等关系推出其下位的I再进行换位，这种推论称为 限制换位 或 偶然换位 (conversion per accidens)，它与前提的命题类型不同且 不等价 。
一个类中各对象的共同属性称为 类的定义特征 (class-defining characteristic)。
类相应的 补类 ，或简称 补 (complement)，是不属于该类的 所有 对象的汇集。词项S指称的类的补由词项 非S （ 互补词项 ）指称，或者可以说非S是S的补，它们分别是类意义上的补和词项的补，二者密切联系：词项是另一词项的词项补，仅当词项指称另一词项所指称的类的补。注意区分 互补词项与反对词项 ：“败者”是“胜者”的反对词项而非互补词项，因为并非所有事物都必须是胜者或败者，“胜者”的互补词项应为“非胜者”。
上述的补是 绝对补 。有时推论中使用 相对补 (relative complement)，即包含在另一个类中的补。例如，“我的孩子”的子类“我的女儿”的相对补是“我的不是女儿的孩子”，即“我的儿子”的类。
改变命题的质，并用谓项的补替换原谓项的推论。换质法直接推论的前提称为 被换质命题 (obvertend)，结论称为 换质命题 (obverse)。任何标准直言命题的换质都有效。
将主项换为原谓项的补，谓项换为原主项的补，而命题的质和量都不变的推论。
换质位法可以 还原 为换质法和换位法。例如，对于A，将“所有S是P”换质得“所有S不是非P”，再换位得“所有非P不是S”，再换质得“所有非P是非S”，对于O也同理，均为先 换质 ，再 换位 ，继续 换质 。
对于A和O，换质位法是有效的直接推论形式，推论与前提 等价 。对于I，换质位法一般无效，因为I换质得到的O换位一般无效。对于E，换质位法一般也无效，因为E换质得到的A换位一般无效，除非进行 限制 换位，则“没有S是P”→“所有S都是非P”→“有非P是S”（限制）→“有非P不是非S”，得到的是O，与前提命题类型不同且 不等价 。
要解决关于命题之间的关系问题，最好的方法是研究从其中一个能否推得另一个的直接推论，这需要从给定命题尽可能多地推出有效的结论。
假命题通过对当关系推理（推论真假不确定的情况）和上述3种推理方法，可能得到真命题。已知命题为假时，要考察另一命题的真假情况，可以从已知假命题的矛盾命题（真命题）着手推理，也可以从被考察的命题着手推理，后者若推出已知为假的命题则它本身也为假。
如果说出一个命题就肯定了某种对象的存在，那么称这个命题有 存在含义 (existential import)。
在 亚里士多德解释 （ 传统解释 ）下，I和O必然有存在含义，否则特称不成立(1)。传统上，认为A和E必然 也要 有存在含义，否则不能由差等关系有效地得到I和O（或由A的限制换位，E的限制换质位也可得出该结论）。那么，两个矛盾命题可能同假(2)。因此，认为A和O有 矛盾 关系是不正确的。同样，认为I和O有 下反对 关系也是不正确的，因为它们在有存在含义时可以同假。
此时，为挽救传统解释下的传统对当方阵，可以引入 预设 (presupposition)概念，即主张所有标准直言命题都预设（在上述含义下）其所涉及的类不为空，这样就能保留传统对当方阵中的各种关系。这一预设称为 全面存在预设 (blanket presupposition)，它对于挽救亚里士多德逻辑是必要的也是充分的，且在很多情况下符合现代语言的日常用法(3)。这也正是亚里士多德
然而，采用这一预设要付出沉重的代价，我们有充足的理由 不 这样做，比如：①不能再刻画那些否定有元素存在的命题，而这样的否定有时非常重要；②日常语言并不完全与全面存在预设一致，有的话并不假定所谈的类中有元素，如“明犯强汉者，虽远必诛”，相反地，这是为了保证这个类维持空类；③在科学界及其他理论界，我们通常希望进行没有任何存在预设的推理，如阐述牛顿第一运动定律时并不预设不受任何外力作用的物体存在。
这些问题使得现代逻辑学家放弃直言命题的传统解释，而采用 布尔解释 （或 现代解释 ，也由罗素称为“ 皮亚诺解释 ”），后者不再假定我们言说的类中必有元素。这种解释如下：
1.在某些方面传统解释仍成立：I和O命题仍有存在含义；相应的A和E、O和I之间的矛盾关系保持为真。
2.全称命题被解释为没有存在含义，即使S类为空，“所有S是P”和“没有S是P”仍可以为真，且可以同真，因此相应的A、E之间不再是反对关系（这听起来似乎难以理解，在10.2和10.3将详细说明）。
3.允许表述有存在含义的全称命题，但要求用两个命题：一个是有存在含义的特殊命题，另一个是没有存在含义的全称命题。
4.对于I和O，如果S类为空，则“有S是P”和“有S不是P”均为假，因此二者不再是下反对关系。
5.差等关系不是普遍有效的，不能从无存在含义的命题（A、E）推出有存在含义的命题（I、O）。
6.一些直接推理仍保留：E和I的换位推理、A和O的换质位推理、所有命题的换质推理，即涉及差等关系的限制换位和限制换质位推理不再有效。
简言之，布尔解释下的对当方阵 周边 的关系不再成立，而 对角线 上的矛盾关系保持不变。
现代逻辑学家否定了全面存在预设。对于不能明确断定有元素的类不能假定它有元素，否则论证会产生 存在预设谬误 ，简称为 存在谬误 。基于布尔解释，我们可以构造一个有力的体系，将标准直言命题推理符号化、图示化。
直言命题的布尔解释很大程度上以 空类 概念为基础。空类用“0”表示，S=0表示S没有元素。S的元素s简记为S’s，S=0亦即不存在S’s。
两个类的全体共同元素组成的类称为两个类的 积 或 交 ，S和P的积用SP表示。（注意与自然语言的某些用法区分，例如西班牙人的类与舞蹈家的类之积不是西班牙舞蹈家的类，因为通常说的是西班牙舞蹈家是表演西班牙舞蹈的人，而不是西班牙的舞蹈家）使用这种记法可以将E和I符号化：E命题“没有S是P”可用等式符号表示为 ，I命题“有S是P”可用不等式符号表示为 。
S的补（见5.6）可用 表示，进而将A和O符号化：A命题“所有S是P”（换质为E命题“没有S是非P”）可用等式符号表示为 ，O命题“有S不是P”（换质为I命题“有S是非P”）可用不等式符号表示为 。
5.3图示了命题中类与类的关系，下面进一步图示直言命题。首先，用一个圆代表一个类，用指称类的词项标注它，这只表示类而未作描述。图示命题“不存在S’s”需要在圆中画上阴影，图示“存在S’s”需要在圆中写一个x。表示S的圆以外的部分可以表示 。
使用两个圆时，除S、P外可以表示 、 、 和 四个类。这一交叉圆图仍只能表示类，尚不表示任何命题。空白部分既不表示类中有元素，也不表示没有，加上阴影或标上x后就能准确地表示四种标准直言命题。
若调换命题中S和P的顺序，只需作对称的标记即可。任给一对带有给定标记的交叉圆，都能将任何一个含这两个类的标准直言命题图示化，无论二者出现的顺序如何。
文恩图是标准直言命题的 肖像 ，将空间的包含与排斥和类间非空间的包含与排斥对应起来，这是检验直言三段论的有效性的一种最简单、最直截的方法。
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