Question

抛物线上一点到焦点和准线的距离是多少?

Answer 1

抛物线上点到焦点距离等于到准线的距离，也等于这点的横坐标x1+p/2（对应抛物线y^2=2px）。

抛物线上点到焦点距离等于到准线的距离。证明：设焦点f(p/2,0),准线x=-p/2,则任意一点x,y满足(x-p/2)^2+y^2=(x+p/2)^2。化简的y^2=2px是抛物线。所以，抛物线上点到焦点距离等于到准线的距离。

抛物线

抛物线是指平面内与一定点和一定直线（定直线不经过定点）的距离相等的点的轨迹，其中定点叫抛物线的焦点，定直线叫抛物线的准线。它有许多表示方法，例如参数表示，标准方程表示等等。 它在几何光学和力学中有重要的用处。

抛物线的一个描述涉及一个点（焦点）和一条线（准线）。焦点并不在准线上。抛物线是该平面中与准线和焦点等距的点的轨迹。抛物线的另一个描述是作为圆锥截面，由圆锥形表面和平行于锥形母线的平面的交点形成。第三个描述是代数。

以上内容参考：百度百科——抛物线

Answer 2

在一个抛物线上的任意一点P，到焦点F和准线的距离是相等的，且等于该点到准线的垂直距离。
设抛物线的焦点为F，准线与抛物线的交点为A，点P的坐标为(x, y)。则点P到焦点F的距离为PF，点P到准线的距离为PA。
抛物线的准线是与对称轴垂直的直线，准线的方程为 x = p，其中 p 是抛物线的焦点到顶点的距离（也是焦距）。因此，点P到准线的距离为 |x - p|。
由于抛物线的性质，点P与焦点F和准线的距离相等，即 PF = PA = |x - p|。
所以，点P到焦点和准线的距离都等于 |x - p|。

Answer 3

对于抛物线的标准方程 y^2 = 4ax，其中 a 是焦点到准线的垂直距离。
设抛物线上一点为 P(x, y)，焦点为 F(a, 0)，准线上点为 L(x, -a)。
根据点到直线的距离公式，点 P 到焦点 F 的距离为 PF = √((x - a)^2 + y^2)，而点 P 到准线的距离为 PL = |-a - y| = |a + y|。
因此，点 P 到焦点和准线的距离为 d = PF - PL = √((x - a)^2 + y^2) - |a + y|