Question

无理数的平方一定是无理数吗?

Answer 1

不一定，有的无理数平方是有理数，比如( r2)^2=2，但有的无理数的平方仍然是无理数。

反例：π是无理数，π的平方仍然是无理数，三次根号下6 平方后是无理数。

无理数不能写成两整数之比。

利用有理数和无理数的主要区别，可以证明√2是无理数。

下面给出欧几里得《几何原本》中的证明方法：

证明：假设√2不是无理数，而是有理数。既然√2是有理数，它必然可以写成两个整数之比的形式：√2=p/q。

再假设p和q没有公因数可以约，所以可以认为p/q 为最简分数，即最简分数形式。