Question

向量的数量积

Answer 1

向量的数量积：a*b=|a||b|cosθ,a,b表示向量，θ表示向量a,b共起点时的夹角，很明显向量的数量积表示数，不是向量。在数学中，向量指具有大小和方向的量。

向量数量积的基本性质

设ab都是非零向量θ是a与b的夹角则

① cosθ=a·b/|a||b|

②当a与b同向时a·b=|a||b|当a与b反向时a·b=-|a||b|

③ |a·b|≤|a||b|

④a⊥b=a·b=0适用在平面内的两直线

几何意义及其运用

叉积的长度|a×b|可以解释成这两个叉乘向量a，b共起点时，所构成平行四边形的面积。据此有：混合积[abc]=（a×b）·c可以得到以a，b，c为棱的平行六面体的体积。

代数规则

1、反交换律：a×b=-b×a

2、加法的分配律：a×（b+c）=a×b+a×c。

3、与标量乘法兼容：（ra）×b=a×（rb）=r（a×b）。

4、不满足结合律，但满足雅可比恒等式：a×（b×c）+b×（c×a）+c×（a×b）=0。

5、分配律，线性性和雅可比恒等式别表明：具有向量加法和叉积的R3构成了一个李代数。

6、两个非零向量a和b平行，当且仅当a×b=0。