Question

在四边形ABCD中，AB=AD，∠CAB=3∠CAD，∠ACD=∠CBD，则tan∠ACD=______

Answer 1

设AB=AD=1，∠CAD=u,0<u<π/4，则∠CAB=3u,
以A为原点、AB为x轴建立直角坐标系，则B(1,0),D(cos4u,sin4u),设C(rcos3u,rsin3u),
CD的斜率k1=(sin4u-rsin3u)/(cos4u-rcos3u),
AC的斜率k2=tan3u,
BC的斜率k3=rsin3u/(rcos3u-1),
BD的斜率k4=sin4u/(cos4u-1)=-cos2u/sin2u,
由到角公式，tan∠ACD=(k2-k1)/(1+k2k1)
=[tan3u-(sin4u-rsin3u)/(cos4u-rcos3u)]/[1+tan3u*(sin4u-rsin3u)/(cos4u-rcos3u)]
=[sin3u(cos4u-rcos3u)-cos3u(sin4u-rsin3u)]/[cos3u(cos4u-rcos3u)+sin3u(sin4u-rsin3u)]
=-sinu/(cosu-r),①
同理，tan∠CBD=(k4-k3)/(1+k4k3)
=[-cos2u/sin2u-rsin3u/(rcos3u-1)]/sin2u/[1-cos2u/sin2u*rsin3u/(rcos3u-1)]
=[-cos2u(rcos3u-1)-rsin3usin2u]/[sin2u(rcos3u-1)-rsin3ucos2u]
=[-rcosu+cos2u]/[-rsinu-sin2u],②
∠ACD=∠CBD,所以①=②，
sinu(rsinu+sin2u)=(cosu-r)(-rcosu+cos2u),
rsin^u+sinusin2u=-rcos^u+cosucos2u+r^2cosu-rcos2u,
整理得r^2cosu-r(1+cos2u)+cosu(4cos^2-3)=0,
r^2-2rcosu+4cos^u-3=0，
（r-cosu)^2-3sin^u=0,
r=cosu土√3sinu.
代入①，tan∠ACD=土√3/3.（舍弃负值）