Question

5.变量函数是变量

Answer 1

每当函数的变量取一个值，函数也会取一些值，之所以说一些，是因为这里的函数是复变函数，复变函数可以是多值函数。

变量可以取任何一个复数，于是函数就可以有无穷多个值。

这句话很含糊，字面理解肯定是不对的。可以举出反例：1/z，不能取0

考虑给出的例子：

限制z为实数，且函数取值在实数域中，则函数值不大于3

放松限制，z可取虚数时，函数值可取任意实数。

所以这句话应该理解为，z可取虚数时，某些变量函数可以取遍每个实数。

也就是常量函数，不论变量取什么值，函数值都取固定常数。

复数是代数闭域，对加减乘除及开方封闭。也就是说：

对任意的两个复数，加减乘除后仍为复数。

对任意的复数，开任意次方根仍为复数。

所以复数域有很好的代数性质，进行任意的代数运算都不用担心会出问题。

对于其他的数系，就很不方便：

自然数作减法可能就不是自然数了。

整数作除法也可能不是整数。

实数开平方可能不是实数。

不过还是有一些限制的，0不论在哪个数系都不能作除数。

谈谈终对象：

终对象是一个对象，记为1，满足UMP:对范畴C中任意的对象A，有且仅有一个箭头，由对象A指向对象1。

限制范畴C为集合范畴Sets

可以证明任意单点集{*}是Sets的终对象。

集合A中所有元素对应到单点集中唯一的元素*。结合上文，这是个常值映射。对于函数f，不论变量取什么值，函数值都为*。

前面提到过，终对象引出的箭头，含义就是集合A中的一个元素，也就是元素与箭头的同构，一个元素对应一个箭头。元素集A与箭头集Hom(1, A)之间有一个双射。记作：

还有新学习的双向法则表示：