Question

已知：f(x+y)=f(x)+f(y),求f(x).

Answer 1

先令x=0,y=0,代入得f(0)=0.
之后再令x+y=0,即y=-x.此时有f(0)=f(x)+f(-x).得到f(x)=-f(-x)
到此处只能得到f(x)为一经过原点的奇函数,无其他条件的话无法再继续推理下去了.

Answer 2

如何推导出f（x）？方法 很巧妙的 。
y=0代入，f（0）=0，必过原点 ..
y=-x代入，f（0）=f（x）+f（-x）=0, f（-x）=-f（x）
x=0, f(x) 必须连续，是必要条件。所以，f（0）=0，有 △x→0，f（△x）=0
f（x+△x）=f(x)+f(△x) , f（x+△x）=f(x) ，在实数R上连续。
x=y代入，f（2x）=2f（x） 同理，f（nx）=nf（x），n自然数
令t=nx代入，f（t）=n f（t/n） 所以，f（x/n）=f（×）/n
则对所有有理数k=p/q， f（-x）=-f（x）， f（kx）=kf（x）

对无理数a，取有理数列{Rn}，使n→∝，Rn=a，则由f连续性，f（RnX）=Rnf（X）
f（ax）= n→∞ f（RnX）=n→ ∞ Rn f（x）=a f（x），所以，对实数R有 ，f（R x）=R f（x），这很关键。
便有下列推导：
f（0）=0，f（0）=f（x-x .1）=f（x）-xf（1）,
f（x）=x f（1）
令f（1）=k，则f（x）=kx，k为实数f(1)
得到了线性函数。