Question

什么叫参数方程?

Answer 1

参数方程

　　参数方程和函数很相似：它们都是由一些在指定的集的数,称为参数或自变量,以决定因变量的结果.例如在运动学,参数通常是“时间”,而方程的结果是速度、位置等.
　　在给定的平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标（x,y）都是某个变数t的函数x=f(t),y=φ(t)——⑴；且对于t的每一个允许值,由方程组⑴所确定的点m(x,y）都在这条曲线上,那么方程组⑴称为这条曲线的参数方程,联系x、y之间关系的变数称为参变数,简称参数.类似地,也有曲线的极坐标参数方程ρ=f(t),θ=g(t）.⑵
　　圆的参数方程 x=a+r cosθ y=b+r sinθ（θ属于[0,2π）） (a,b）为圆心坐标 r为圆半径 θ为参数 (x,y）为经过点的坐标
　　椭圆的参数方程 x=a cosθ　y=b sinθ（θ属于[0,2π）） a为长半轴 长 b为短半轴长 θ为参数
椭圆
　　双曲线的参数方程 x=a secθ （正割） y=b tanθ a为实半轴长 b为虚半轴长 θ为参数
　　抛物线的参数方程 x=2pt^2 y=2pt p表示焦点到准线的距离 t为参数
　　直线的参数方程 x=x'+tcosa y=y'+tsina,x',y'和a表示直线经过（x',y'）,且倾斜角为a,t为参数.
　　或者x=x'+ut,　y=y'+vt (t属于R)x',y'直线经过定点（x',y'),u,v表示直线的方向向量d=（u,v）
　　圆的渐开线x=r(cosφ+φsinφ） y=r(sinφ-φcosφ）（φ∈[0,2π）） r为基圆的半径 φ为参数
　　

圆的渐开线
平摆线参数方程 x=r（θ-sinθ） y=r（1-cosθ）r为圆的半径,θ是圆的半径所经过的角度（滚动角）,当θ由0变到2π时,动点就画出了摆线的一支,称为一拱.
　　
平摆线
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方程的应用

　　在柯西中值定理的证明中,也运用到了参数方程.
　　柯西中值定理
　　如果函数f(x）及F(x）满足：
　　⑴在闭区间[a,b]上连续；
　　⑵在开区间（a,b）内可导；
　　⑶对任一x∈（a,b）,F'(x）≠0,
　　那么在（a,b）内至少有一点ζ,使等式
　　[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'（ζ）/F'（ζ）成立.
　　柯西简洁而严格地证明了微积分学基本定理即牛顿－莱布尼茨公式.他利用定积分严格证明了带余项的泰勒公式,还用微分与积分中值定理表示曲边梯形的面积,推导了平面曲线之间图形的面积、曲面面积和立体体积的公式.
　　参数曲线亦可以是多于一个参数的函数.例如参数表面是两个参数(s,t)或(u,v)的函数.
　　譬如一个圆柱：
　　r(u,v)=[x(u,v),y(u,v),z(u,v)]=[acos(u),asin(u),v]
　　参数是参变数的简称.它是研究运动等一类问题中产生的.质点运动时,它的位置必然与时间有关系,也就是说,质的坐标x,y与时间t之间有函数关系x=f(t),y=g(t),这两个函数式中的变量t,相对于表示质点的几何位置的变量x,y来说,就是一个“参与的变量”.这类实际问题中的参变量,被抽象到数学中,就成了参数.我们所学的参数方程中的参数,其任务在于沟通变量x,y及一些常量之间的联系,为研究曲线的形状和性质提供方便.
　　用参数方程描述运动规律时,常常比用普通方程更为直接简便.对于解决求最大射程、最大高度、飞行时间或轨迹等一系列问题都比较理想.有些重要但较复杂的曲线（例如圆的渐开线）,建立它们的普通方程比较困难,甚至不可能,列出的方程既复杂又不易理解,如圆的渐开线的普通方程.
　　根据方程画出曲线十分费时；而利用参数方程把两个变量x,y间接地联系起来,常常比较容易,方程简单明确,且画图也不太困难.