Question

请证明：sinx在x趋于无穷大的时候极限不存在？

Answer 1

只要说明在x趋于无穷大时，sinx可以趋近于不同的数即可。例如当x=nπ时，sinx≡0，所以趋于0，而当x=2nπ+(1/2)π时，sinx≡1。所以趋于1。

当x趋近于无穷时可能使得x=2kπ+π/2，当k取无穷大时，x也为无穷大。此时，f（x）=1。

当x趋近于无穷时可能使得x=2kπ，当k取无穷大时，x也为无穷大。此时，f（x）=0。

根据极限的唯一性，上述情况显然不唯一，所以极限不存在。

若x趋近于正无穷，这根号x也趋近于正无穷。

由sinX中，当X趋于无穷时，SINX无穷大，无极限值。

所以sin根号x中，当根号X趋于无穷大时，sin根号x无穷大，无极限值。

N的相应性　

一般来说，N随ε的变小而变大，因此常把N写作N(ε)，以强调N对ε的变化而变化的依赖性。但这并不意味着N是由ε唯一确定的：（比如若n>N使|xn-a|<ε成立，那么显然n>N+1、n>2N等也使|xn-a|<ε成立）。重要的是N的存在性，而不在于其值的大小。