Question

二元函数才有偏积分么为什么

Answer 1

微分有偏微分，很自然地，我们会想，积分是否有“偏积分”？

积分可以看作求导的逆运算。函数  的不定积分就是导函数为  的所有函数组成的集合，即 很自然地，我们可以定义偏积分就是偏导数的逆运算。例如，二元函数  对  的“不定偏积分”就是 显然，如果  对  的偏导数是  ，则  也是。反之，如果  与  对  的偏导数都是  ，则  只是关于  的函数，与  无关。这是很容易证明的，只需要固定  ，把  看作是  的一元函数，并应用一元函数不定积分的相关定理，就能证明。

因此，类似于一元函数不定积分的结果中会包含一个任意常数，多元函数不定偏积分的结果会包含一个任意函数。

具体操作起来，就是把  当作常数，对  求积分，最后再加上任意函数项  。例如 注意到这个结果和含参量积分是差不多的，主要的差别是多出了关于  的任意函数项  。实际上，含参量定积分可以看作“定偏积分”。

偏积分虽然很少被提及，但在某些情况下还是会隐含地使用。

例如在求波动方程  的通解时，做变量代换  ，得到  先对  求偏积分，得到  。

再对  求偏积分，得到

Answer 2

那z=x^2*y^2呢,它的偏导数就是二元函数吧,要弄清特殊和一般的关系,偏导数是二元函数是一般情况,而是一元函数是特殊情况,因为一元函数可以看成二元函数的某个变量为0时的特例,而数学研究问题都是研究一般情况下的,因为它也适用于特殊情况.