Question

高数 求不定积分(1)∫[(1-x)/根号(9-4x^2)]dx(2)∫dx/x+根号(1-x^2)(3)∫dx/1+根

Answer 1

第一题：
令x＝（3/2）sinu,则：sinu＝2x/3,u＝arcsin（2x/3）,dx＝（3/2）cosudu.
∴∫［（1－x）/√（9－4x^2）］dx
＝（3/2）∫｛［1－（3/2）sinu］/√［9－9（sinu）^2］｝cosudu
＝（1/4）∫（2－sinu）du
＝（1/2）∫du－（1/4）∫sinudu
＝（1/2）u＋（1/4）cosu＋C
＝（1/2）arcsin（2x/3）＋（1/4）√［1－（sinu）^2］＋C
＝（1/2）arcsin（2x/3）＋（1/4）√［1－（2x/3）^2］＋C
＝（1/2）arcsin（2x/3）＋（1/12）√（9－4x^2）＋C
第二题：
令x＝sinu,则：u＝arcsinx,dx＝cosudu.
∴∫｛1/［x＋√（1－x^2）］｝dx
＝∫［1/（sinu＋cosu）］cosudu
＝∫［cosu/（sinu＋cosu）］du.
＝（√2/2）∫｛cosu/［（√2/2）sinu＋（√2/2）cosu］｝du
＝（√2/2）∫｛cos（u＋π/4－π/4）/［（sinucos（π/4）＋cosusin（π/4）］｝d（u＋π/4）
＝（√2/2）∫｛［cos（u＋π/4）cos（π/4）＋sinusin（π/4）］/sin（u＋π/4）｝d（u＋π/4）
＝（1/2）∫｛［cos（u＋π/4）＋sin（u＋π/4）］/sin（u＋π/4）｝d（u＋π/4）
＝（1/2）∫［cos（u＋π/4）/sin（u＋π/4）］d（u＋π/4）＋（1/2）∫d（u＋π/4）
＝（1/2）∫［1/sin（u＋π/4）］d［sin（u＋π/4）］＋（1/2）（u＋π/4）
＝（1/2）ln｜sin（u＋π/4）｜＋（1/2）u＋C
＝（1/2）arcsinx＋（1/2）ln｜sinucos（π/4）＋cosusin（π/4）｜＋C
＝（1/2）arcsinx＋（1/2）ln［（√2/2）｜sinu＋cosu｜］＋C
＝（1/2）arcsinx＋（1/2）ln（√2/2）＋（1/2）ln｜x＋√（1－x^2）｜＋C
＝（1/2）arcsinx＋（1/2）ln｜x＋√（1－x^2）｜＋C
第三题：
令x＝sinu,则：u＝arcsinx,du＝cosudu.
∴∫｛1/［1＋√（1－x^2）］｝dx
＝∫｛1/［1＋√（1－sin^2u）］｝cosudu
＝∫［cosu/（1＋cosu）］du
＝∫du－∫［1/（1＋cosu）］du
＝u－∫｛1/［2cos^2（u/2）］｝du
＝arcsinx－∫｛1/［cos（u/2）］^2｝d（u/2）
＝arcsinx－tan（u/2）＋C
＝arcsinx－（1－cosu）/sinu＋C
＝arcsinx－［1－√（1－sin^2u）］/x＋C
＝arcsinx－［1－√（1－x^2）］/x＋C
第四题：
令x＝tanu,则：dx＝［1/（cosu）^2］du.
∴∫｛1/［x^4√（1＋x^2）］｝dx
＝∫｛1/｛（tanu）^4√［1＋（tanu）^2］｝｝［1/（cosu）^2］du
＝∫［（cosu）^3/（sinu）^4］du
＝∫［（cosu）^2/（sinu）^4］d（sinu）
＝∫｛［1－（sinu）^2］/（sinu）^4｝d（sinu）
＝∫［1/（sinu）^4］d（sinu）－∫［1/（sinu）^2］d（sinu）
＝－（1/3）［1/（sinu）^3］＋（1/sinu）＋C
＝｛1－（1/3）［1/（sinu）^2］｝/sinu＋C
＝｛1－（1/3）［1＋1/（tanu）^2］√［1＋1/（tanu）^2］＋C
＝［1－（1/3）（1＋1/x^2）］√（1＋1/x^2）＋C
＝［1－（1/3）（1＋x^2）/x^2］（1/x）√（1＋x^2）＋C
＝（1/x）√（1＋x^2）－［（1＋x^2）/（3x^3）］√（1＋x^2）＋C
＝［（1/x）－1/（3x）］√（1＋x^2）－［1/（3x^3）］√（1＋x^2）＋C
＝［2/（3x）－1/（3x^3）］√（1＋x^2）＋C
第五题：
令x＝2sinu,则：sinu＝x/2,u＝arcsin（x/2）,dx＝2cosudu.
∫［√（4－x^2）/x^2］dx
＝2∫｛√［4－4（sinu）^2］/（2sinu）^2｝cosudu
＝4∫［（cosu）^2/（2sinu）^2］du
＝∫［1/（sinu）^2］du－∫du
＝∫｛［1/（cosu）^2］/（tanu）^2｝du－u
＝∫［1/（tanu）^2］d（tanu）－arcsin（x/2）
＝－1/tanu－arcsin（x/2）＋C
＝－√［1－（sinu）^2］/sinu－arcsin（x/2）＋C
＝－√［1－（x/2）^2］/（x/2）－arcsin（x/2）＋C
＝－（1/x）√（4－x^2）－arcsin（x/2）＋C