Question

怎样做任意角的三等分?

Answer 1

任意角可以三等分吗？为什么？
纯数学角度，三等分任意角已被证明是不可能的；但是从哲学角度看，任意角被任意等分都是可能的。因为数学只是人类描述世界的一个工具，整个数学体系是建立在几个最基本的假设上。比如说数字十进制，是客观世界本来就存在的吗？否。很多数学难题也许就是数学大厦根基的几个最基本假设造成的，也许在2进制、3进制、N进制形成的数学体系中就是很简单的问题，或者根本就不存在这样的问题。
如何证明三等分任意角不可能用尺规作图
用反证法：

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给定任意角∠A，

首先作出 cos(A)，

假设此时我们能三等分∠A，

那么我们就能作出 cos(A/3)，

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根据 cos 三倍角公式，可得：

4*cos^3(A/3) - 3*cos(A/3) = cos(A)

此时令 cos(A/3) = x，则得到三元一次方程：

4x^3 - 3x - cos(A) = 0

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cos(A) 的值不同，上面方程的解就不同；

但是，对绝大多数 ∠A 来说，

等式 4x^3 - 3x - cos(A) = 0 的解都会是 [三次方根] 的形式,

也就是 cos(A/3) 会是 [三次方根] 的形式

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然而，从算数角度来讲，尺规作图只能作五种运算：

加，减，乘，除，开平方

仅用这五种运算，无论如何也得不出 [三次方根] 的形式，

所以，尺规作图无法作出 [三次方根] 的量；

所以，cos(A/3) 无法作出；

因此，∠A 就无法被三等份

(这就是证明的大体思路了，如果要严谨证明的话要写太多太多，这里不必要了，毕竟了解了思路就OK了)