Question

求和:1+1/2^2+1/3^2+...+1/n^2

Answer 1

解
设1/2+...+1/n=a
(1+1/2+1/3+...+1/n)^2+(1/2+1/3+...+1/n)^2
=(1+a)^2+a^2
=1+2a+2a^2
=1+2(1+a)a
设1/3+...+1/n=b
(1+1/2+1/3+...+1/n)^2+(1/2+1/3+...+1/n)^2+(1/3+...+1/n)^2
=1+2(1+a)a+b^2
=1+2(1+1/2+b)(1/2+b)+b^2
=1+(1+1/2+b)+3(1+b)b
设1/4+...+1/n=c
(1+1/2+1/3+...+1/n)^2+(1/2+1/3+...+1/n)^2+(1/3+...+1/n)^2+(1/4+...+1/n)^2
同理=1+(1+1/2+1/3+c)+(1+1/3+c)+4(1+c)c
到这里我们就可以发现规律。
左边=1+(1+1/2+1/3+...+1/n)+(1+1/3+...+1/n)+...+(1+1/n)
[群：够n步了吧~]
=n+1/2+2/3+...+(n-1)/n
=2n-(1+1/2+1/3+...+1/n)