已知a,b.c∈R+,且a+b+c=1,求证((1/a)-1)((1/b)-1)(（1/c-1)）)≥8
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(1/a -1)(1/b -1)(1/c -1)
=[(1-a)/a][(1-b)/b][(1-c)/c]
=[(b+c)/a][(c+a)/b][(a+b)/c]
=(b+c)(c+a)(a+b)/(abc)
a>0 b>0 c>0,由均值不等式得
b+c≥2√(bc) c+a≥2√(ac) a+b≥2√(ab)
(1/a -1)(1/b -1)(1/c -1)=(b+c)(c+a)(a+b)/(abc)≥[2√(ab)][2√(bc)][2√(ca)]/(abc)=8abc/(abc)=8
(1/a -1)(1/b -1)(1/c -1)≥8,不等式成立.
=[(1-a)/a][(1-b)/b][(1-c)/c]
=[(b+c)/a][(c+a)/b][(a+b)/c]
=(b+c)(c+a)(a+b)/(abc)
a>0 b>0 c>0,由均值不等式得
b+c≥2√(bc) c+a≥2√(ac) a+b≥2√(ab)
(1/a -1)(1/b -1)(1/c -1)=(b+c)(c+a)(a+b)/(abc)≥[2√(ab)][2√(bc)][2√(ca)]/(abc)=8abc/(abc)=8
(1/a -1)(1/b -1)(1/c -1)≥8,不等式成立.
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