Question

基本初等函数求导公式

Answer 1

常函数的导数设f(x)=c，c为常数.则f′(x)=limΔx→0f(x+Δx)_f(x)Δx=limΔx→0c_cΔx=0。
幂函数的导数，引理1limx→0(1+x)a_1x=a(a∈R)证明令(1+x)a_1=t，则当x→0时t→0limx→0(1+x)a_1x=limx→0[(1+x)a_1ln_(1+x)a_aln_(1+x)x]=limt→0tln_(1+t)_limx→0aln_(1+x)x=a。设f(x)=xa(a∈R)，D为f(x)的定义域且规定x∈D,x≠0f(x)=limΔx→0f(x+Δx_f(x)Δx=limΔx→0(x+Δx)a_xaΔx=limΔx→0xa_1_(1+Δxx)a_1Δxx。易知，Δxx→0，运用引理1的结果，可得f′(x)=limΔx→0f(x+Δx)_f(x)Δx=axa_1。当a≠1时，由定义可计算得f′(0)=0，代入公式可知成立，故该公式对一切的x∈D都成立；特别地，当a=1时，则规定f′(x)≡1.正弦函数的导数，引理2limx→0sin_xx=1