罗尔定理的证明过程

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爱的年华NF
2022-10-13 · TA获得超过1108个赞
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罗尔定理的证明过程如下:

证明:因为函数 f(x) 在闭区间[a,b] 上连续,所以存在最大值与最小值,分别用 M 和 m 表示,分两种情况讨论:

1. 若 M=m,则函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上必为常函数,结论显然成立。

2. 若 M>m,则因为 f(a)=f(b) 使得最大值 M 与最小值 m 至少有一个在 (a,b) 内某点ξ处取得,从而ξ是f(x)的极值点,又条件 f(x) 在开区间 (a,b) 内可导得,f(x) 在 ξ 处取得极值,由费马引理,可导的极值点一定是驻点,推知:f'(ξ)=0。

另证:若 M>m ,不妨设f(ξ)=M,ξ∈(a,b),由可导条件知,f'(ξ+)<=0,f'(ξ-)>=0,又由极限存在定理知左右极限均为 0,得证。

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