Question

力的平衡方程

Answer 1

当作用于刚体的力系使刚体平衡时，力系与零力系等效，因此力系平衡的充要条件是主矢与主矩均为零。即：FR＝0MO＝0(1)或!Fi＝0!MO(Fi)＝0(2)将上式向直角坐标系各坐标轴投影，即得投影分量的平衡方程，不同力系的平衡方程数目与形式均有所不同。

各种力系的平衡方程：任意力系：!Fx＝0　!Fy＝0　!Fz＝0!Mx＝0　!My＝0　!Mz＝0(3)平面力系：　!Fx＝0　!Fy＝0　!MO＝0(4)空间汇交力系：!Fx＝0　!Fy＝0　!Fz＝0(5)同样可得平行力系、力偶系等的平衡方程。上述平衡方程中，为简化书写，略去了各分量的下标i。平衡方程的其他形式　上面列写的是平衡方程的基本形式，平衡方程还有其他形式。以平面力系为例

式(4)是基本形式，也称一矩式；其他形式为：二矩式!Fx＝0　!MA＝0　!MB＝0(6)三方程彼此独立的条件是AB连线与x轴不垂直。三矩式!MA＝0!MB＝0(7)!MC＝0三方程彼此独立的条件是A,B,C三点不共线。当平面力系平衡时，可对任意轴列写投影等式，也可对任意点列写力矩等式，但这些平衡方程中独立的只有三个。这反映了刚体平面运动中有三个自由度，为使刚体在力系作用下平衡，必须且只需三个平衡方程。对空间任意力系，平衡方程的形式更多，有三矩式、四矩式、五矩式及六矩式，各平衡方程彼此独立的条件也十分复杂。平衡方程的多种形式为求解静力学问题提供了灵活而简捷的途径。

平衡方程的应用　平衡方程建立了作用在平衡物体上的力的关系。对静定问题可由已知力求出全部未知数。如图a所示的三铰拱ABC。已知载荷力F及力偶矩M，不计拱的自重，求铰支座A,B的约束力。首先考虑整体的平衡，受力图如图b，利用平面力系平衡方程求出部分约束力FBy及FAy，并求得关系式FAx＋FBx＝0。再考虑AC拱的平衡，受力图如图c，由平衡方程求得FAx，代入上面的关系式可求得FBx。如果对AC拱继续列写平衡方程，还可求得铰C的约束力。