二阶常系数线性非齐次微分方程特解有哪些?
较常用的几个:
1、Ay''+By'+Cy=e^mx
特解 y=C(x)e^mx
2、Ay''+By'+Cy=a sinx + bcosx
特解 y=msinx+nsinx
3、Ay''+By'+Cy= mx+n
特解 y=ax
通解
1、两个不相等的实根:y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x)
2、两根相等的实根:y=(C1+C2x)e^(r1x)
3、一对共轭复根:r1=α+iβ,r2=α-iβ:y=e^(αx)*(C1cosβx+C2sinβx)
扩展资料:
标准形式 y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)
解法
通解=非齐次方程特解+齐次方程通解
对二阶常系数线性非齐次微分方程形式ay''+by'+cy=p(x) 的特解y*具有形式
y*= 其中Q(x)是与p(x)同次的多项式,k按α不是特征根、是单特征根或二重特征根(上文有提),依次取0,1或2.
将y*代入方程,比较方程两边x的同次幂的系数(待定系数法),就可确定出Q(x)的系数而得特解y*。
多项式法:
设常系数线性微分方程y''+py'+qy =pm (x)e^(λx),其中p,q,λ是常数,pm(x)是x的m次多项式,令y=ze^(λz) 。
则方程可化为:F″(λ)/2!z″+F′(λ)/1!z′+F(λ)z=pm(x) ,这里F(λ)=λ^2+pλ+q为方程对应齐次方程的特征多项式。
升阶法:
设y''+p(x)y'+q(x)y=f(x),当f(x)为多项式时,设f(x)=a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an,此时,方程两边同时对x求导n次,得
y'''+p(x)y''+q(x)y'=a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an……
y^(n+1)+py^(n)+qy^(n-1)=a0n!x+a1(n-1)!
y^(n+2)+py^(n+1)+qy^(n)=a0n!
令y^n=a0n!/q(q≠0),此时,y^(n+2)=y^(n+1)=0。
参考资料:百度百科——二阶常系数线性微分方程
2024-10-28 广告