Question

二项式定理第n项通项公式

Answer 1

二项式定理第n项通项公式如下：

(a+b)n=C0n⋅an⋅b0+C1n⋅an−1⋅b1+C2n⋅an−2⋅b2+⋯+Crn⋅an−r⋅br+⋯+Cnn⋅a0⋅bn

(a+b)n=Cn0⋅an⋅b0+Cn1⋅an−1⋅b1+Cn2⋅an−2⋅b2+⋯+Cnr⋅an−r⋅br+⋯+Cnn⋅a0⋅bn

项的排列规则：按照aa的降幂排列同时按照bb的升幂排列，每一项的次数(aa和bb的指数之和)为nn，如果不按照这样的规则排列，由于加法具有交换律，故通项公式就没有意义

；等式右边称为(a+b)n(a+b)n二项展开式，共有n+1n+1项，其中各项的系数Crn(r=0，1，2，⋯，n)Cnr(r=0，1，2，⋯，n)称为二项式系数，Crn⋅an−r⋅brCnr⋅an−r⋅br称为二项展开式的第r+1r+1项，又称为二项式通项。

故通项公式为Tr+1=Crn⋅an−r⋅brTr+1=Cnr⋅an−r⋅br，r=0，1，2，⋯，nr=0，1，2，⋯，n。

证明思路：

①由具体到抽象；

②组合数法；比如第一项，Cnn⋅an⋅C0n⋅b0=C0n⋅anCnn⋅an⋅Cn0⋅b0=Cn0⋅an；

比如第二项，Cn−1n⋅an−1⋅C11⋅b1=C1n⋅an−1⋅b1Cnn−1⋅an−1⋅C11⋅b1=Cn1⋅an−1⋅b1；

其他项依此类推；

应用时需要注意：

①Tr+1=Crn⋅an−r⋅brTr+1=Cnr⋅an−r⋅br，可以表达展开式中的任意项，当nn和rr确定，该项就随之确定；

②Tr+1=Crn⋅an−r⋅brTr+1=Cnr⋅an−r⋅br，r=0，1，2，⋯，nr=0，1，2，⋯，n，是展开式中的第r+1r+1项，不是第rr项；

③公式中aa与bb的指数之和为nn，且aa和bb的位置不能随意颠倒；

④要将通项公式中的系数和字母分离开，以便于解决计算问题；

⑤关于(a−b)n(a−b)n展开式的通项公式，要特别注意符号问题，(a−b)n=[a+(−b)]n(a−b)n=[a+(−b)]n。