Question

一道数学题，求解（高分）

如图，从直线COD上一点O引两条射线OE，OF，使∠GOF=∠FOE=∠EOD=60°，在歙县OF，OG，OE上各取一点A B C，使∠CAB=60°，若OA=m求三角形ABC面积的最大值

Answer 1

很明显，因<DOE=<BAC=60°，故四点A,B,O,C共圆。从而<ABC=<AOC=<AOB=<ACB=60°，故△ABC是等边三角形。因此，问题可化为:在过两定点A,O的动圆中，求面积最大的内接正三角形的面积。设<OBC=a,在三角形ABO中，由正弦定理得：AB/sin60°=OA/sin(a+60°）===》AB=√3m/[2sin(a+60°)]。显然，当a=0°或60°时，AB最大，从而面积也最大，ABmax=m===>Smax=(√3/4)m^2.

Answer 2

在GB间取一点H,使OH=OA
则可知三角形AOH为等边三角形
之后很好证明三角形ABH与三角形ACO全等
四边形的面积与三角形AOH相等,而三角形AOH面积已经由m值确定
可知,四边形ABOC面积是一定的
要ABC的面积最大,则只要ABC在四边形ABOC中的面积比率最大就行了
设AO与BC交点为P
现在分别分析三角形AOB与AOC
APC在AOC中的比率同P点决定,且P越近O点比率越大
同理APB在AOB中的比率也是一样的

最后是:ABC在四边形中的面积由P点决定
且P离O越近,面积越大
猜想:
ABC面积最大为C与O或B与O点重合时
最小面积为OB=OC时
这样面积就好求了

题外话:正常情况下应是求ABC的最小值,因为最大值是个极限,不可能达到(B,C点不能与O点重合,只能无限接近)

Answer 3

在OE上取一点F，使OF=OA=m。
△OAF是正三角形。
∠BAC=∠OAF=60°，∠BAO=∠CAF
∠BOA=∠CFA=60°
OA=AF，△BOA≌CFA
AC=AB
∠CAB=60°，△ABC是正三角形。
S△ABC=1/2*AB*AB*sin60°=根号3AB^2/4
B或C在O点时，AB最大为：m
AB⊥GD时，AB最小为：根号3m/2

三角形ABC面积的最大值是：根号3*m^2/4，最小值是：3根号3*m^2/16.

Answer 4

给你基本思路吧：
三角形ABC的面积等于：AB*AC*cos60度=AB*AC/2
所以求出AB*AC的最大值就可以了
然后设角OAC为x度，那么角OAB就是60-x度
又因为角AOB=角AOC=60度，OA=m
所以三角形AOB和AOC都可以用正弦定理解出来，
那么AB和AC就可以用m和x表示出来了，然后就是求极值的问题

Answer 5

解：当BC合OE或OG重合时面积最大。