Question

为什么收敛数列不一定是单调的？

Answer 1

单调的不一定收敛

收敛也不一定单调

比如an=(-1)^n*1/n 

函数在正数和负数之间晃动

但总的趋势是收敛与 0

但不是单调的。

单调有界定理

单调有界定理：若数列{an}递增（递减）有上界（下界），则数列{an}收敛，即单调有界数列必有极限。具体来说，如果一个数列单调递增且有上界，或单调递减且有下界，则该数列收敛。

相关概念、单调性

对任一数列{xn}，如果从某一项xk开始，满足

则称数列（从第k项开始）是单调递增的。特别地，如果上式全部取小于号，则称数列是严格单调递增的。同样地，如果从某一项k开始，满足则称数列（从第k项开始）是单调递减的。特别地，如果上式全部取大于号，则称数列是严格单调递减的。

单调递增数列和单调递减数列统称单调数列。

有界性

对任一数列{xn}，如果存在某个实数A使不等式

根据数列有界的定义可知，如果一个数列有界，那么它一定有上界和下界。反过来，如果一个数列只有上界或只有下界，则不能得出数列有界的结论。

设数列{Xn}，如果存在常数a，对于任意给定的正数q（无论多小），总存在正整数N，使得n>N时，恒有|Xn-a|<q成立，就称数列{Xn}收敛于a（极限为a），即数列{Xn}为收敛数列（Convergent Sequences）。

数列收敛<=>数列存在唯一极限。