Question

如果x=0,y=1，则y''=多少?

Answer 1

∵齐次方程y''-5y'+6y=0的特征方程是r²-5r+6=0,则r1=2,r2=3
∴齐次方程y''-5y'+6y=0的通解是y=C1e^(2x)+C2e^(3x) (C1,C2是积分常数)
∵设原方程的解为y=(Ax²+Bx)e^(2x)
代入原方程,化简整理得-2Axe^(2x)+(2A-B)e^(2x)=xe^(2x)
==>-2A=1,2A-B=0
==>A=-1/2,B=-1
∴原方程的一个解是y=-(x²/2+x)e^(2x)
于是,原方程的通解是y=C1e^(2x)+C2e^(3x)-(x²/2+x)e^(2x) (C1,C2是积分常数)
∵y(0)=5,y'(0)=1 ==>C1+C2=5,2C1+3C2-1=11
∴C1=3,C2=2
故原方程在初始条件y(0)=5,y'(0)=1下的特解是y=3e^(2x)+2e^(3x)-(x²/2+x)e^(2x)
即y=(3-x-x²/2)e^(2x)+2e^(3x).