Question

高中数学题？

已知椭圆C：（a＞b＞0）与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），F为左焦点，原点O到直线FA的距离为二分之根号·b.（1）求椭圆C的离心率；（2）设b=2，直线y=kx+4与椭圆C交于不同的两点M，N，求证：直线BM与直线AN的交点G在定直线上．

Answer 1

答案如下：
（1）椭圆的方程为:$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$,那么椭圆的离心率$e$定义为$e=\frac{c}{a}$,其中$c$为椭圆的长轴的一半。从椭圆的定义可得，$c^2=a^2-b^2$,所以$e=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$。
（2）由题意可得，椭圆的方程为:$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{4}=1$,直线的方程为:$y=kx+4$。将直线的方程代入椭圆的方程中，得到:$\frac{x^2}{a^2}+(kx+4)^2=1$,解得:$x_1=-\frac{2a\sqrt{a^2k^2+8k+16}}{a^2k^2+8k-8},x_2=\frac{2a\sqrt{a^2k^2+8k+16}}{a^2k^2+8k-8}$,所以点M和点N的坐标分别为:$(x_1,kx_1+4)$和$(x_2,kx_2+4)$.
点G的坐标为$\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{kx_1+4+kx_2+4}{2}\right)=(\frac{x_1+x_2}{2},k\frac{x_1+x_2}{2}+4)$.由于点G在定直线上，所以点G满足直线$y=kx+4$的方程.将点G的坐标带入直线的方程中得到:$k\frac{x_1+x_2}{2}+4=kx+4$,解得$x=\frac{x_1+x_2}{2}$.所以点G在定直线上，证毕.