Question

15.求极限+lim_(x→0)(xsinx+2cosx-2)/(x^2-x^2cosx)

Answer 1

分子展开得到：
xsinx + 2cosx - 2 = x(sin x / x) + 2(cos x / 1) - 2 = sin x + 2cos x - 2x / x
将分母展开得到：
x^2 - x^2cosx = x^2(1 - cos x) = x^2(2sin^2(x/2))
因此，原式可以写成：
lim_(x→0) [sin x + 2cos x - 2x / x] / [2x^2sin^2(x/2)]
接下来，将分子和分母都除以 x^2，得到：
lim_(x→0) [(sin x / x) + (2cos x / x^2) - (2 / x^2)] / [2sin^2(x/2)]
当 x → 0 时，sin x / x → 1，cos x / x^2 → 1/2，因此：
lim_(x→0) [(sin x / x) + (2cos x / x^2) - (2 / x^2)] = 1 + 2(1/2) - 2 = -1
同时，sin(x/2) / (x/2) → 1，因此：
lim_(x→0) 2sin^2(x/2) / x^2 = 2 * lim_(x→0) [sin(x/2) / (x/2)]^2 = 2 * 1^2 = 2
因此，原式可以化为：
lim_(x→0) -1 / 2 = -1/2
所以，极限的值为 -1/2。