已知二次函数y= ax2+ bx+ c的图象,求证:?

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匿名用户
2023-04-08
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(2014•莱芜)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示.下列结论:①abc>0;②2a﹣b<0;③4a﹣2b+c<0;④(a+c)2<b2其中正确的个数有(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 考点:二次函数图象与系数的关系. 专题:数形结合. 分析:由抛物线开口方向得a<0,由抛物线对称轴在y轴的左侧得a、b同号,即b<0,由抛物线与y轴的交点在x轴上方得c>0,所以abc>0;根据抛物线对称轴的位置得到﹣1<﹣b/2a<0,则根据不等式性质即可得到2a﹣b<0;由于x=﹣2时,对应的函数值小于0,则4a﹣2b+c<0;同样当x=﹣1时,a﹣b+c>0,x=1时,a+b+c<0,则(a﹣b+c)(a+b+c)<0,利用平方差公式得到(a+c)2﹣b2<0,即(a+c)2<b2. 解答:解:∵抛物线开口向下, ∴a<0, ∵抛物线的对称轴在y轴的左侧, ∴x=﹣b/2a<0, ∴b<0, ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方, ∴c>0, ∴abc>0,所以①正确; ∵﹣1<﹣b/2a<0, ∴2a﹣b<0,所以②正确; ∵当x=﹣2时,y<0, ∴4a﹣2b+c<0,所以③正确; ∵当x=﹣1时,y>0, ∴a﹣b+c>0, ∵当x=1时,y<0, ∴a+b+c<0, ∴(a﹣b+c)(a+b+c)<0,即(a+c﹣b)(a+c+b)<0, ∴(a+c)2﹣b2<0,所以④正确. 故选D. 点评:本题考查了二次函数的图象与系数的关系:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象为抛物线,当a>0,抛物线开口向上;对称轴为直线x=﹣b/2a;抛物线与y轴的交点坐标为(0,c);当b2﹣4ac>0,抛物线与x轴有两个交点;当b2﹣4ac=0,抛物线与x轴有一个交点;当b2﹣4ac<0,抛物线与x轴没有交点.
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