Question

已知矩阵A,A*B=A-1+B求B

Answer 1

根据题意，已知矩阵 $A$，$A*B=A^{-1}+B$，要求矩阵 $B$。
首先，对等式两边同时左乘 $A$，得到：
$A*A*B=A*A^{-1}+A*B$
由于 $A*A^{-1}=I$，其中 $I$ 表示单位矩阵，因此上式化简为：
$A*B=I+B$
进一步移项得到：
$B=A^{-1}+I-B$
将等式两边同时加上 $B$，得到：
$2B=A^{-1}+I$
因此：
$B=\frac{1}{2}(A^{-1}+I)$
因此，矩阵 $B$ 的表达式为 $\frac{1}{2}(A^{-1}+I)$。
需要注意的是，只有在矩阵 $A$ 可逆时，上述推导才成立。如果 $A$ 不可逆，那么矩阵 $A^{-1}$ 不存在，此时无法求解。

Answer 2

给定矩阵 $A$ 和矩阵 $B$，同时满足 $AB=A^{-1}+B$。
我们可以将上式移项得到 $AB-B=A^{-1}$，然后将 B 提取出来，即 $B=A^{-1}+(I-A)B$。
将式子变为 $(I-A)B=A^{-1}$，两边同时左乘 $(I-A)^{-1}$，有 $B=(I-A)^{-1}A^{-1}$。
需要注意的是，当 $(I-A)$ 不可逆，即 $A$ 有特征值 $1$ 时，$(I-A)^{-1}$ 不存在，此时无唯一解。