Question

已知矩阵A的特征值是-1,1,2,求矩阵的秩.？

Answer 1

此题考查特征值的性质
用常用性质解此题:

1. A的行列式等于A的全部特征值之积
所以 |A| = -1*1*2 = -2

2. 若a是可逆矩阵A的特征值, 则 |A|/a 是A*的特征值
所以A*的特征值为 2,-2,-1
所以|A*| = 2*(-2)*(-1) = 4.
注: 当然也可用伴随矩阵的行列式性质 |A*| = |A|^(n-1) = |A|^2 = (-2)^2 = 4.

3. 若a是可逆矩阵A的特征值, 则对多项式g(x), g(a)是g(A)的特征值
这里 g(x) = x^2-2x+1, g(A)=A^2-2A+E
所以 g(A)=A^2-2A+E 的特征值为 g(-1),g(1),g(2), 即 4,0,1
所以 |A^2-2A+E| = 4*0*1 = 0