Question

高中数学函数题求解。

已知函数f(x)=x-lnx(x>1/2);x^2+2x+a-1(x≤1/2) <注，分段函数>
（1）求函数f(x)的单调递增区间。
（2）求函数f(x)的零点。

Answer 1

1、前面几位已经有详细解答 在下就不多费唇舌了 

f(x)在(-1,1/2),(1,+00)上为增 

2、几位可答错了 

如图x趋近于负无穷时 f(x)为正 而f(x)在-1和1处分别取相应区间的极小值 

而有当x>=1/2时f(x)的极小值为f(1)=1大于零 

当x<=1/2时f(x)的极小值为f(-1)=a-2 

解此二次方程：x^+2x+a-1=0 得x1=-1-√(2-a) ,x2=-1+√(2+a) 

当大根x2=-1+√(2+a)<=1/2时则有两根x1和x2 此时-1/4<=a<=2 

当大根x2=-1+√(2+a)>=1/2时则只有小根x1此时a<-1/4 

综上：当a<-1/4时有零点[-1-√(2-a),0]  

当-1/4<=a<=2时有零点[-1-√(2-a),0]和[-1+√(2-a),0] 

当a>2时无零点 

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Answer 2

1
x>1/2，f'(x)=1-1/x
x>1时，f'(x)>0单增
1/2<x<1,f'(x)<0单减

x≤1/2，f'(x)=2x+2,
-1<x≤1/2时，f'(x)>0单增
x<-1,f'(x)<0单减
函数f(x)的单调递增区间为（-1，1/2]U（1,+∞)

2
x>1/2段，最小值f(1)=1>0,无零点
x≤1/2段，△=8-4a
若△=8-4a<0,a>2无零点
若△=8-4a≥0,零点x=-1±(√△)/2

Answer 3

(1)单调性问题。在（-***，1/2]上，f(x)=x^2+2x+a-1=(x+1)^2+a-2,显然在[-1,1/2]上单调递增。在（1/2,+**)上，求导得：f'(x)=1-(1/x).当1/2<x<1时==》1-（1/x)<0,即f'(x)<0,当x>1时===》1-(1/x)>0,即f'(x)>0.显然，在[1,+**)上，函数f(x)单调递增。综上知，函数的递增区间是[-1,1/2]∪(1,+∞).（2）就函数的零点问题，在（1/2.+**)上，由前知，函数的极小值在x=1时取得，f(1)=1>0.故在（1/2,+**)上，函数无零点。在（-**，1/2]上易知，函数的极小值在x=-1时取得，f(-1)=a-2,因此当a-2>0时，即a>2时无零点，当a=2时，仅一个零点x=-1。又f(1/2)=a+(1/4).故a=-1/4时，恰有两个零点，a<-1/4时，只有一个零点。综上知，a>2时，无零点。a=2,或a<-1/4时，仅一个零点，点-1/4《a<2时，有两个零点。

Answer 4

（1）x>1/2 f '(x)=1-1/x>0 f(x)单调递增
x≤1/2 f'(x)=2x+2 x>-1时 f(x)单调递增
函数f(x)的单调递增区间为（-1，1/2）U（1/2,+00)
(2)令f(x)=0 △=4-4(a-1)=8-4a
当a<=2 零点用求根公式算
当a>2 无零点

Answer 5

1、分段求导，判断单调性
2、利用单调性看零点